Седова Наталья Сергеевна
aспирант кафедры алгебры и геометрии,  Псковский государственный педагогический университет им. С.М. Кирова, г. Псков
nsedova@hse.ru

Использование метода кейсов в процессе развития стохастической компетентности будущего учителя математики

Аннотация
На основе результатов диагностического тестирования студентов-первокурсников  (будущих учителей математики) делается вывод о слабом развитии их  стохастической компетентности, как составляющей профессиональной компетентности будущего учителя математики.   Разработана и предлагается к использованию методика, основанная на  методе кейсов  и направленная на развитие  стохастической компетентности в ходе изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика». Приводится пример кейса. Приводятся результаты тестирования, демонстрирующие результативность предлагаемой методики.

Ключевые слова: компетентностный подход, стохастическая компетентность, кейс-метод, предметная компетентность, профессиональная компетентность.

Результат профессиональной подготовки учителя может быть с достаточной полнотой описан с помощью понятия «профессиональная компетентность», под которой понимается «интегральная характеристика, определяющая способность специалиста решать профессиональные проблемы и типичные профессиональные задачи, возникающие в реальной профессиональной деятельности, с использованием знаний, профессионального и жизненного опыта, ценностей и наклонностей» [1].

В профессиональной компетентности учителя математики выделяют три  составляющие: предметную, общую психолого-педагогическую и методическую [2]. В свою очередь предметная (математическая) составляющая профессиональной компетентности учителя математики также может быть представлена рядом компонентов, один из которых  – стохастическая компетентность. Под стохастической компетентностью мы будем понимать владение основными понятиями теории вероятностей, комбинаторики и  математической статистики и способность их применять  в ситуациях, которые могут возникнуть в практической деятельности.

В последние десятилетия произошли заметные изменения в стиле научного мышления, научные закономерности уже не отождествляются с жесткой детерминированностью. Овладение вероятностно-статистическими методами познания  способствует ориентации человека в динамично изменяющемся мире. Высокий общекультурный потенциал стохастики позволяет лучше адаптироваться в современной жизни: анализировать  различную информацию, оценивать риски, оптимизировать поступки и т.д. В 2004 году стохастическая линия включена в государственный образовательный стандарт (ГОС) общего образования. Элементы стохастики включены в обязательные  предметные результаты Федерального ГОС  основного общего образования 2010 года и проект Федерального ГОС среднего образования 2011г.

Как показали результаты исследования [3], степень сформированности стохастической компетентности у учителей математики нельзя признать достаточной для формирования стохастической компетентности у современных школьников [3]. Для оценивания сформированности стохастической компетентности студентов нами были разработаны диагностические задания,  направленные на проверку владения основными понятиями стохастики из школьного курса математики и  умения применять стохастические знания в простейших жизненных и практических ситуациях. Оценивались знания (блок А), понимание (блок С) и применение знаний (блок В). Базой исследования послужили студенты-первокурсники факультета математики Псковского государственного педагогического университета им. С.М. Кирова (ПГПУ). Результаты тестирования  представлены на диаграмме (см. рис.1)

Рис.1. Результаты диагностического тестирования знаний стохастики (А), применения знаний (В) и понимания (С) у студентов первого курса до начала изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика»

Хуже всего студенты первого курса выполняли задания,  связанные с применением стохастических знаний в практических, жизненных ситуациях: они не могли найти пути решения задачи, исходя из ее реалистичности, не могли оценить информацию, интерпретировать полученные результаты [4]. Это позволяет сделать вывод об актуальности поиска и научного обоснования методики развития стохастической компетентности будущих учителей математики.

Как известно, эффективность образовательного процесса в значительной степени определяется адекватным выбором и профессиональной реализацией образовательных технологий, использованием в учебном процессе активных и интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой [5].  Мы связываем развитие профессиональной компетентности будущих учителей математики с применением таких активных и интерактивных методов обучения,  как кейс-метод, проектный метод, деловые игры, компетентностно-ориентированные задания и др., направленных на формирование умений и навыков системного мышления и разрешения проблемных ситуаций.

Метод кейсов (Case-study)  представляет собой разбор всевозможных жизненных ситуаций и является одним из средств, реализующих основные принципы активного и интерактивного обучения. Ситуация из жизни, или смоделированная близко к жизненной, всегда может рассматриваться с точки зрения различных учебных предметов, осуществляя таким образом межпредметную интеграцию. Практическая составляющая, заключенная в решении кейсов, позволяет формировать профессиональную компетентность будущего учителя. Метод кейсов гармонично вплетается в образовательный процесс, дополняет его всевозможными жизненными деталями, приближает к окружающей действительности, имеет реальные предпосылки для формирования  опыта успешной деятельности. Если метод кейсов применяется в учебном процессе многократно, то у студентов вырабатываются навыки решения практических задач, анализа жизненных ситуаций, определения задачи, которая требует решения, оценивать полученный результат, давать оценку своей деятельности в процессе решения. Таким образом, кейсы формируют умение эффективно и грамотно, с опорой на полученные знания, в нашем случае – по стохастике, решать практические и социальные задачи, увязывать свой жизненный опыт с приобретенными знаниями, накапливать успешный опыт по разрешению неожиданных, нестандартных ситуаций.

Прикладной характер стохастики позволяет включить жизненные практические ситуации для рассмотрения и обсуждения (дискуссии) студентами на занятиях, и получения нового  опыта решения подобных ситуаций, подкрепленного теоретическими знаниями. Формирование стохастической компетентности может быть так же связано с проведением опытов, экспериментов. Групповая работа при использовании активных методов обучения моделирует случайные, зачастую нестандартные ситуации, в которых и может проявляться стохастическая компетентность студентов. Все выше сказанное обосновывает применение метода кейсов  в качестве одного из активных методов обучения.

Для развития стохастической компетентности будущего учителя нами были разработаны и  апробированы на физико-математическом факультете ПГПУ кейсы для курса «Теория вероятностей и математическая статистика». При построении кейсов мы отдавали приоритет темам и разделам, имеющим практический потенциал, возможное применение в обычной жизни, будущей профессиональной деятельности.

В качестве примера приведем здесь  кейс «Опасность из космоса», который предлагался при изучении темы  «Случайные величины и их характеристики».

На занятии студентам выдается текст, описывающий некоторую ситуацию:  (приведен фрагмент): «В последнее время очень часто в прессе и Интернете приходится видеть сенсационные сообщения вроде «Огромный астероид разрушит Землю», «Огромная комета летит к нам», и т.д. Неискушенному читателю впору в панику впадать. Куда бежать? Дальше родной планеты не убежишь. Когда же прочитаешь сообщение, узнаешь, что, оказывается рядом (по космическим меркам) пролетает совсем небольшая комета, каких тысячи.

Хотя в истории Земли бывали кометы и метеориты, которые значительным образом влияли даже на климат планеты. Тунгусский метеорит принес  разрушения на 1000 квадратных километрах. Что было бы, если он упал не в тайге, а в густонаселенной Европе? Какую же опасность несут кометы и метеориты? Так ли они опасны? Какие размеры небесных тел представляют опасность?            Ежедневно на Землю падает до 50 тыс. тонн метеоритного вещества. В основном размеры метеоритов настолько малы, что они сгорают, не успев долететь до поверхности планеты. Лишь около двух тысяч метеоритов в год достигают поверхности планеты. При прохождении через земную атмосферу, которое в среднем длится 5 секунд, сгорает от 80 до 90 % его массы.    Предполагается, что вес метеоритов, способных долететь до поверхности Земли – случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения с математическим ожиданием а=950кг, и средним квадратичным отклонением σ =150кг. Доля чистых метеоритов в потоке космического вещества составляет лишь 1,2 процента. Ущерб, причиненный людям от падений метеоритов, пока не очень велик. За последние 500 лет на здания упало около 30 метеоритов. В XVIII веке метеорит упал на башню монастыря в Баварии и разрушил ее, в 1684 году метеорит пробил купол церкви в Тобольске, в 1946 году осколки крупного метеорита разрушили несколько домов в Мексике. В 2003 году осколок метеорита с размерами около 10 сантиметров пробил крышу домика в США и упал на пол в комнате. Зарегистрировано несколько случаев падений метеоритов на корабли, автомобили и животных - в 1836 году в Бразилии были побиты овцы, а в 1911 году в Египте убило собаку. За 1500 лет документировано почти тридцать событий, при которых были ранены или погибли люди».

Для разрешения ситуации студенты разбиваются на  малые группы, выбирают модератора, задачей которого является руководство всеми этапами деятельности. При этом происходит разбор ситуаций как совокупности обстоятельств, обстановки или положения дел, в которых студенты совместно ищут решение проблемы. Они слушают друг друга, говорят сами, записывают, наблюдают, анализируют полученный результат, проектируют решения, действия, готовят материал для дискуссии.

Преподаватель должен иметь примерный план решения, это особенно важно, если не он является автором кейса. На начальных этапах использования метода кейсов рекомендуется составлять список наводящих вопросов, так как навыки формализации, внутримодельного решения  и интерпретации имеются еще не у всех студентов. Для реализации дискуссии к кейсу предлагались различные вопросы и задания, например: Как Вы считаете, реальна ли угроза из космоса? Где вы встречались с ситуациями, в которых Земля находится перед угрозой  столкновения с огромным метеоритом? С кем рядом упал хоть однажды крошечный метеорит?  Нужна ли вам дополнительная информация для того, чтобы дать ответ? Какие пути решения вы можете предложить? Сформулируйте их в виде примерного плана действий.

В процессе решения могут предлагаться дополнительные информационные материалы, задания и т.д. При решении данного кейса студентам были предложены следующие задания:

1. Определите вероятность того, что вес случайного метеорита, подлетающего к Земле: а) окажется больше 1250кг; б) окажется меньше 850кг; в) будет находиться между 800 и 1300кг; г) отклонится от математического ожидания меньше, чем на 50кг; д) отклонится от математического ожидания больше, чем на 50кг.

2. У созданного NASA космического шаттла-перехватчика расположено 4 боеголовки. При стрельбе по небесному телу, представляющему угрозу Земле, пилот  ведет огонь, пока не попадет, или пока не кончатся боеголовки. Найдите математическое ожидание количества выстрелов, если вероятность попадания при одном выстреле 0,25.

3. Исследователями установлено, что 20% школьников не знают о существовании метеоритов. В случайной выборке 1600 учеников. Сколько учеников знают о существовании метеоритов с гарантией в 95%?

Задачи, которые ставит перед студентами преподаватель, должны соответствовать как содержательному аспекту изучаемой дисциплины (в данном кейсе можно рассмотреть понятия: вероятность, полная вероятность, частота, статистический анализ информации, верификация данных и т.д.), так и индивидуальному уровню развития студентов, их мотивации и потребностям в самореализации. Для  этого в рамках преподавания дисциплины студентам предлагаются «индивидуальные журналы», где студенты проводят оценочно-аналитическую работу над своими достижениями, проблемами, описывают трудности, с которыми столкнулись при решении тех или иных заданий, ставят задачи, прописывают механизмы их достижения, выполняя стратегическое и тактическое планирование. Ведение журнала начинается  с момента, когда студент приступает к изучению дисциплины. Журналы и самостоятельная работа студентов  при подготовке к занятиям должна проводиться с помощью системы  LCMS (learning content management system). Это существенно облегчит совместный удаленный доступ ко всей необходимой информации и для студента и для преподавателя.

Решение кейса может быть реализовано не полностью, однако важным показателем продвижения в сторону решения является определение механизма решения и теоретической области, необходимой для решения. Уже это имеет видимый мотивационный эффект для изучения соответствующего теоретического материала. Данный кейс, в зависимости от уровня подготовленности аудитории, может быть использован преподавателем либо как обучающий, либо как развивающий. Независимо от уровня подготовленности аудитории кейс может быть использован как диагностирующий.

После изучения курса с применением кейс-метода было проведено повторное  тестирование студентов (см. рис.2).

Рис.2. Результаты диагностического тестирования знаний стохастики (А), применения знаний (В) и понимания (С) у студентов первого курса после изучения дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» с применением разработанных кейсов.

Проведенное исследование показало, что по окончании курса студенты стали более уверенно применять стохастические знания к решению практических задач,  научились искать разные подходы к разрешению проблемы; они прогнозируют вероятность событий, дают более полные обоснования решений, демонстрируют умение анализировать ситуацию, абстрагируя нематематическое описание компетентностно-ориентированных заданий до уровня математических моделей.

Литература:

1. Компетентностный подход в педагогическом образовании: Коллективная монография [текст]  / Под ред. Проф. В.А. Козырева, проф. Н.Ф. Радионовой и проф. А.П. Тряпициной. - СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2005.-392с.

2. Стефанова Н.Л. Понамарчук О.С. Составляющие предметной компетентности учителя математики [текст]/О.С. Понамарчук, Н.Л. Стефанова  // Академические чтения. – СПб.: Издательство СПбГИПСР, 2005. – Вып. 6: Компетентностный подход в современном образовании. – с.175-177.

3. Седова Н.С. Средства формирования стохастической компетентности будущих учителей математики [текст]  /Н.С. Седова// Проблемы теории и практики обучения математике: Сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «63 Герценовские чтения», посвященную 90-летию кафедры методики  обучения математике/Под ред. В.В. Орлова.- СПб.:Изд-во РГПУ им А.И. Герцена, 2010.-407с.

4. Седова Н.С. О сформированности стохастической компетентности учителя математики [текст] / Н.С. Седова // Вестник Псковского государственного педагогического университета, серия «Естественные и физико-математические науки». - Псков.-2010.-№ 10.-С.111-126.

5. Федеральный государственный образовательный стандарт Высшего профессионального образования по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация (степень) бакалавр) [Электронный ресурс]. / URL: http://www.edu.ru/db/mo/Data/d_09/prm788-1.pdf  .-(дата обращения 10.09.2011)

Рекомендовано:

Н.Л.Стефанова, доктор пед. наук,  научный руководитель работы
А.А.Ахаян, доктор педагогических наук, член Редакционной Коллегии

 

-----

Natalya S. Sedova
Postgraduate student, S.Kirov State Pedagogical University of Pskov, Pskov-city
nsedova@hse.ru

Implementation of the case studies in the development of the future mathematics teacher's stochastic competence

Based on the results of diagnostic testing first-year students (future teachers of mathematics) finds weak development of the stochastic competence as a component of professional competence of future teachers of mathematics. Developed and proposed to use a method based on the method and case studies aimed at developing competence in the stochastic study of the discipline "Theory of Probability and Mathematical Statistics." An example of the case. The results of testing to demonstrate the effectiveness of the proposed methodology.

Key words: competence approach, stochastic competence, case-method, subject competence, professional competence.