Ельчанинова Галина Георгиевна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, Елец
eltchaninova_gg@mail.ru

Мельников Роман Анатольевич,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики, Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, Елец
roman_elets_08@mail.ru  

Методические подходы к изучению ряда вопросов вводных тем математического анализа 

Аннотация
в статье выявлены проблемы, проанализированы их причины, представлены методические подходы к изучению ряда важных вводных тем математического анализа, знание которых оказывают существенное влияние как на математическую, так и методическую подготовку будущего учителя математики

Ключевые слова
методические подходы, введение в математический анализ, учитель математики, предел, последовательность, модуль  

Переход высшего образования в России на многоуровневую систему подготовки побуждает многих преподавателей к пересмотру содержательной основы, даже устоявшихся курсов. В частности, разделение вузовской подготовки учителей математики на бакалавриат и магистратуру порождает массу вопросов к содержанию такого традиционного курса как «Математический анализ». 

Курс математического анализа один из самых объёмных по содержанию, что подтверждается  количеством часов, отводимых на его изучение, и играет немаловажную роль в методической подготовке будущих учителей математики, так как он сильно перекликается со школьным курсом «Алгебра и начала анализа», изучаемым в 10–11-х классах. 

До перехода на новую систему подготовки учителей математики на изучение математического анализа отводилось в разные годы 6-7 семестров. При этом методическая подготовка учителя математики начиналась на 3 курсе, практически сразу после изучения курса математического анализа. Сейчас же весь период подготовки бакалавра составляет 4 года и важно суметь грамотно спланировать и сбалансировать математическую и методическую подготовку будущего учителя.  

Это можно сделать либо сократив объём изучаемого в курсе математического анализа материала (что в той или иной мере отразится на качестве подготовки), либо найти новые методические подходы к его преподаванию. Кроме того, изучение методических курсов начинается в тот момент, когда рассмотрение ключевых вопросов математического анализа ещё не завершено. 

В качестве теоретической основы конструирования таких подходов мы будем использовать концепцию профессионально-педагогической направленности специальной  подготовки учителя математики А. Г. Мордковича, которая была разработана им в докторской диссертации. Он выделил 4 основополагающих принципа, определяющих профессионально-педагогическую направленность математической подготовки будущих учителей: фундаментальности, бинарности, ведущей идеи и непрерывности. 

Мы в большей мере будем опираться на принцип «бинарности». Это положение о том, что за основу построения математических дисциплин должно быть взято объединение общенаучной и методической линии, что означает двуединство хорошей математической подготовки студента и уже сформированных (или хотя бы начавших формироваться) его методических взглядов [1, с. 76-81]. 

Курс математического анализа имеет своё содержательное ядро, которое традиционно включает в себя следующие разделы: «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление функций одной переменной», «Интегральное исчисление функций одной переменной», «Ряды», «Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных». К вариативной части обычно относятся следующие разделы: ТФДП, ТФКП, «Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными», что подтверждается тенденцией последних 10-15 лет выделять в учебных планах эти разделы в отдельные дисциплины. Каждый раздел обычно делится на несколько глав, внутри которых локализуют несколько достаточно крупных модулей (тем), которые в свою очередь включают в себя несколько параграфов. Сейчас содержание тем является вариативным, то есть включение или исключение отдельных параграфов не столь жёстко регламентировано новыми стандартами (ФГОС). 

Необходимым условием успешного изучения всего курса, несомненно, является раздел «Введение в анализ», так как именно в нём вводятся основополагающие понятия всего курса: последовательность, функция, предел, непрерывность и т.п. Рассмотрим структуру раздела «Введение в анализ»: Глава I. Действительные числа. Глава II. Функции (Функциональная зависимость, Функция и её свойства, Классификация функций, Последовательности). Глава III. Предел (Предел числовой последовательности, Предел функции, Односторонние пределы, Замечательные пределы, Техника вычисления пределов). Глава IV. Непрерывность (Непрерывность множества действительных чисел, Непрерывность функции, Классификация точек разрыва). 

Заметим, что последовательность изучения разделов курса «Математический анализ» идёт вразрез с историей формирования математического анализа как части математики (она находится в обратном порядке по отношению к его современному изложению). Известно, что до работ О.-Л. Коши (1789-1857), К. Вейрштрасса (1815-1897) и др. математический анализ был группой разрозненных тем. Только после введения понятия «предел» математический анализ был «поставлен на твёрдую почву». До К. Вейерштрасса оснований анализа фактически не существовало. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо определения. Отсутствовала полная теория сходимости рядов. Как следствие, немало теорем содержали ошибки, нечёткие или чрезмерно широкие формулировки.  К. Вейерштрасс сформулировал логическое обоснование анализа на основе построенной им теории действительных (вещественных) чисел и так называемого «ε-δ»-языка. Например, он строго определил на этом языке понятие непрерывности. Одновременно он дал строгое доказательство основных свойств непрерывных функций. Определения непрерывной функции, предела, сходимости ряда и равномерной сходимости функций воспроизводятся без всяких изменений в современных учебниках. 

Те проблемы, с которыми столкнулось математическое сообщество при выстраивании основ математического анализа, почти всегда проецируются (в некоторой степени) на изучающих его, с чем и связана основная проблема в выборе методических подходов к изучению ряда вопросов вводных тем математического анализа. 

Первый аспект проблемы – нарушение преемственности при входе в вузовскую систему обучения между школьным курсом математики и курсом математического анализа в вузе, так как в большинстве учебников «Алгебра и начала анализа 10–11» четко не формируется такое понятие, как «предел» [2, c. 254]. Как правило, в школе оно вводится на интуитивном уровне, в то время как в вузе первокурсникам предлагается понятие предела, сформулированное на языке «ε-Ν» (для предела числовой последовательности)  и «ε-δ» (для предела функции). Это порождает рассогласованность во введении понятий «непрерывность», «производная», «определенный интеграл». Кроме того, при введении понятия предела на языке «ε-δ» используется понятие модуля действительного числа, которое в школьном курсе математики не изучается всесторонне и глубоко, причём настолько, чтобы с лёгкостью использовать его как служебное при введении понятия предела [3, с. 58-62]. 

Второй аспект проблемы –  несогласованность глубины изучения некоторых понятий  раздела «Введение в анализ» с соответствующими терминами и способами решения задач школьного курса математики.  

Например, тема «Последовательности», изучаемая в вузе имеет много точек соприкосновения со школьным курсом. Так, арифметическая и геометрическая прогрессии являются последовательностями. При изучении числовых последовательностей в курсе математического анализа делается акцент на способах их задания, пределе последовательности, вопросе сходимости последовательности, выделении подпоследовательности и т. п. (т. е. в первую очередь идёт закладка фундамента для изучения других разделов математического анализа или вообще других математических дисциплин). Кроме того, навыки, формируемые при записи формулы общего члена последовательности, оказывают существенное влияние на изучение раздела «Ряды». 

В школьном курсе перечисленные аспекты не затрагиваются. Многолетний опыт преподавания дисциплины «Математический анализ» позволяет нам утверждать, что вводный параграф о рекуррентном способе задания последовательностей вообще не оставляет следа в памяти школьников, а от самих прогрессий остаётся лишь стандартный набор формул и типов задач. Этот факт парадоксален, так как практически во всех учебниках имеются задания на рекуррентно заданные последовательности, хотя и в недостаточном количестве (мы не берём в рассмотрение учебники профильного уровня). Так, например, в учебнике А.Г. Мордковича (9 кл) рекуррентному способу задания последовательности посвящён целый пункт теории и только одна задача № 400 «Последовательность задана рекуррентным способом. Перейдите к аналитическому заданию, т. е. найдите формулу её n-го члена, если x₁=3, x_n=x_n-1+5,n+2,3,4̤… ».  

Мы думаем, что недостаточный уровень изучения материала, связанного с рекуррентным способом задания последовательности порождает трудности, связанные с изучением сходных вопросов в вузе, а сам порождается недостаточной подготовкой учителя к решению таких задач. Большая часть современных учителей сама обучалась по учебнику А.Н. Колмогорова, по которому в 1980-1983гг. изучались: действительные числа, предел последовательности, непрерывность, производная. Учебник, изданный в 1988 г., не содержит сведений о пределе как цели изучения. В частности, сведения о пределе упоминаются лишь в исторической справке. Понятие предела рассматривалось преимущественно в курсе геометрии (длина и площадь круга), оно стояло изолированно. Хотя современные авторы (например, А. Ш. Алимов, Ю.М. Колягин, А.Г. Мордкович и др.) включают в учебники понятие предела, но говорить о систематическом его изучении не представляется возможным. Возможно, это порождается тем, что понятие модуля, необходимое для раскрытия сути понятия «предел», само изучается не последовательно и в недостаточной мере [3, с. 111-112]. 

В вузовском введении в анализ глубоко изучается теория, связанная с понятием действительного числа. Действительные числа используются для количественной характеристики величин (длина, площадь, объём, масса и т. д.). При этом описание ряда величин требует привлечения как положительных, так и отрицательных чисел. Это величины, у которых есть начало отсчёта и «отклонение» в противоположных направлениях (например, колебание маятника – в физике; прибыль и затраты – в экономике). На практике нас, как правило, интересует значение этого «отклонения» от начала отсчёта с точностью до знака. Математической моделью этих значений является модуль действительного числа.  

Модуль появляется практически во всех темах школьного курса математики, начиная с 7 класса (а само понятие модуля вводится уже в 6 классе).  Для школьного обучения модуль важен с точки зрения построения графиков функций, решения уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, а также в курсе геометрии. 

На возникновение у студентов трудностей в использовании теоретических знаний, связанных с понятием модуля действительного числа, влияют различные факторы. Один из них заключается в следующем. Если обратиться к материалу школьных учебников (как для общеобразовательных классов, так и классов с углублённым изучением математики), то можно сделать вывод о том, что материал, связанный с модулем, по показателям последовательности подачи соответствующей теории и наличия определённых теоретических фактов в рекомендованных к использованию учебниках, не одинаков. Понятие модуля вводится в 6 классе в связи с изучением положительных и отрицательных чисел. В некоторых учебниках 7-11 классов авторы предлагают дальнейшее рассмотрение теоретических положений, связанных с этим понятием. Так, можно выделить два блока учебников:

1. учебники, в которых развивается теория, связанная с понятием модуля – к нему можно отнести пособия  Ш. А. Алимова (8, 10-11 кл), Н. Я. Виленкина (8 кл), Ю. М. Колягина (8-11 кл), Ю. Н. Макарычева (9 кл), А. Г. Мордковича (8-11 кл), С. М. Никольского (8-9 кл);

2. учебники, в которых модуль появляется только в качестве фактора, усложняющего предлагаемую задачу – это пособия Ш. А. Алимова (7, 9 кл), М. И. Башмакова (10-11 кл), Н. Я. Виленкина (9-11 кл), Г. В. Дорофеева (7-9 кл), А. Н. Колмогорова (10-11 кл), Ю. М. Колягина (10-11 кл), Ю. Н. Макарычева (7-8 кл), К. С. Муравина (7, 9-11 кл), С. М. Никольского (7, 10-11 кл).

Заметим, что учебники одного и того же авторского коллектива, но созданные для разных классов, мы сочли возможным отнести к разным блокам. 

Если проследить наличие, содержание и характер (теоретический или практический) материала, связанного с модулем в комплекте учебников 6-11 классов хотя бы одного из упомянутых авторов, то видно, что непрерывности использования материала, связанного с модулем, нет как в теории, так и на практике. Как следствие, у студентов – будущих учителей математики не складывается целостного представления об особенностях использования модуля при решении различных задач, что они впоследствии и переносят на свою преподавательскую деятельность. 

Принцип бинарности направлен на «сглаживание» выявленных нами проблем. С одной стороны, он способствует укреплению связей в математической и методической подготовке будущих учителей математики, за счёт акцентирования внимания при изучении ключевых вопросов математического анализа, находящихся в области обоюдного внимания как учителей математики старших классов школ, так и преподавателей младших курсов вузов. 

Итак, совершенствование методических подходов к изучению ряда вопросов вводных тем математического анализа жизненно необходимо, ибо чтение курса математического анализа «по-старинке» не в полной мере решает накопившиеся проблемы преемственности.  

Формами решения указанных проблем могут служить:

• интегрированные лекции, в ходе чтения которых преподаватель умышленно акцентирует внимание студентов на связи изучаемого материала курса математического анализа со школьным курсом;

• курсы по выбору, в ходе проведения занятий по которым подбор материала идёт на основе сближения вузовского и школьного курсов и дополнительной проработки типов задач, не входящих в школьный курс;

• исследовательские задания для студентов-практикантов, заключающиеся в проведении анализа глубины освещённых нами в данной статье проблем и действенности предложенных методов.

Литература

1. Мордкович А. Г.  Профессионально-педагогическая направленность специальной подготовки учителя математики в педагогическом институте: дис. … докт. пед. наук: 13.00.02 / А. Г. Мордкович. – М.: 1986. – 358 с.

2. Ельчанинова Г.Г. Изучение понятия «предел» на основе принципа бинарности  / Г.Г. Ельчанинова, Р.А. Мельников // Традиции и инновации отечественной школы: Актуальные вопросы введения ФГОС. Сборник научных статей. - Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина. – 2013. – с. 252-258.

3. Ельчанинова Г. Г. Задачи элементарной математики как средство развития профессионально значимых поисковых умений у будущих учителей математики]: дис. … канд. пед. наук: 13.00.02 / Г. Г. Ельчанинова. – СПб, 2009. – 238 с.

Рекомендовано к публикации:
А.А.Ахаян, доктор педагогических наук, член Редакционной Коллегии

_____

 

Galina G. Elchaninova
Candidate of Pedagogical Sciences, Docent  of Department of Mathematical Analysis and Elementary Mathematics, I.A. Bunin Yelets State University, Yelets-city.
eltchaninova_gg@mail.ru

Roman A. Melnikov,
Candidate of Pedagogical Sciences, Docent  of Department of Mathematical Analysis and Elementary Mathematics, I.A. Bunin Yelets State University, Yelets-city.
roman_elets_08@mail.ru  

Methodological approaches to the study of a number of questions of  introductory themes of mathematical analysis 

In an article identified problems, analyzed their causes, presented methodological approaches to the study of some important introductory themes of mathematical analysis, the knowledge of which have a significant influence on both the mathematical and methodical training of a future teacher of mathematics

Key words:
methodological approaches, introduction to mathematical analysis, math teacher, limit, sequence, module  

Literatura

1. Mordkovich, А. G. Professional'no-pedagogicheskaya napravlennost' spetsial'noj podgotovki uchitelya matematiki v pedagogicheskom institute [Tekst]: dis. … dokt. ped. nauk: 13.00.02 / А. G. Mordkovich. – M.: 1986. – 358 s.

2. El'chaninova, G.G. Izuchenie ponyatiya «predel» na osnove printsipa binarnosti [Tekst] / G.G. El'chaninova, R.А. Mel'nikov // Traditsii i innovatsii otechestvennoj shkoly: Аktual'nye voprosy vvedeniya FGOS. Sbornik nauchnykh statej. - Elets: EGU im. I.А. Bunina. – 2013. – s. 252-258.

3. El'chaninova G. G. Zadachi ehlementarnoj matematiki kak sredstvo razvitiya professional'no znachimykh poiskovykh umenij u budushhikh uchitelej matematiki [Tekst]: dis. … kand. ped nauk: 13.00.02 / G. G. El'chaninova. – SPb, 2009. – 238 s.