Резник Елена Михайловна
cтарший преподаватель кафедры прикладной математики и эконометрики, Государственный экономический университет, Санкт-Петербург
elr1900@mail.ru

Обучение установлению содержательных связей как средство осуществления дедуктивного доказательства

Аннотация
в статье обозначена проблема объективной сложности осуществления дедуктивных обоснований при изучении геометрии учащимися седьмого класса и представлены средства для решения этой проблемы.

Ключевые слова:
дедуктивное обоснование, содержательный анализ, содержательные связи, диалог, задания

Известно, что одним из основных видов деятельности при изучении  систематического курса геометрии, является дедуктивное обоснование. Эта деятельность является новой по сути (оперирование большим количеством геометрических объектов, необходимость их точного определения, строгого логического обоснования суждений и проч.) для семиклассников, они к ней не готовы. Анализ результатов проведенных исследований позволяет сделать вывод, что деятельность по осуществлению дедуктивного доказательства характеризуется и учителями и учениками как наиболее сложная на протяжении 7 – 11 классов.

Для проведения дедуктивного обоснования необходимо:

• построить логическую цепочку суждений, которая характеризуется определенной последовательностью, детерминированной замыслом доказательства;

• снабдить каждое звено цепочки соответствующей аргументацией.

Ни первое, ни второе действие не осуществлялись семиклассниками систематически в предыдущем обучении. В силу возрастных особенностей учащихся, программы построены таким образом, что от детей до момента изучения геометрии не требовалось выведения следствий из теоретического факта и ссылки на теоретический факт.

Очевидно, что деятельность можно осуществлять на разных уровнях – с пониманием и без понимания. Например, геометрическое доказательство можно заучить и при необходимости воспроизвести. В.М. Туркина [1] отмечает, что  в начале изучения геометрии семиклассники сталкиваются с обилием доказательств. В то же время они не владеют умением проводить доказательство, поэтому вынуждены заучивать их, не осмыслив еще идеи и логики самого процесса доказывания.

Тем не менее, мы считаем, и это подтвердил проведенный нами эксперимент, что с самого начала изучения геометрии можно и нужно создавать условия для понимания учениками  дедуктивного обоснования, для самостоятельного его осуществления.

Очевидно, что самостоятельно действовать можно только тогда, когда понимаешь «зачем?», «что?» и  «как?» делать. В свою очередь понимание нацелено на поиск содержательного смысла (содержательных взаимосвязей) того или иного факта (Е.И. Лященко) [2].

Обратим внимание, что главным моментом, определяющим возможность осуществления дедуктивного обоснования, является существование связей в геометрическом материале. А минимальной предпосылкой для понимания «чужого» доказательства и для самостоятельного осуществления дедуктивного доказательства является «ориентация в пространстве доказательства». Мы имеем в виду, что принципиально важно, чтобы геометрические объекты, задействованные в каждом конкретном доказательстве, присутствовали в опыте учеников как в любой момент актуальное представление со множеством разнообразных связей в нем и с другими объектами.

Поэтому, начиная с первых уроков геометрии, необходимо предлагать учащимся задания, нацеливающие их на установление содержательных связей в геометрическом материале, на осуществление содержательного анализа этого материала.

Содержательный анализ состоит в том, что человек некоторым образом находит существенные связи и закономерности внутри предмета, между свойствами его понятий, определяет то внутреннее отношение, которое является и основой, и условием существования объекта и т.п. ( В.В. Давыдов) [3].

Е.И. Лященко [2] обращает внимание на то, что содержательный анализ начинается не с раскрытия логических связей свойств в определении, а с «собирания» разнообразных по степени абстракции свойств понятия. Это могут быть свойства, извлеченные из житейского опыта учащихся, свойства, в каком-то ракурсе рассмотренные ранее, но в новом понятии получающие большую конкретизацию и определенность. Наконец, свойства, раскрывающие наиболее полно содержание изучаемого понятия.

Рассмотрим компоненты, входящие в структуру любого геометрического понятия:

1. термин;

2. логически строгое определение;

3. множество всех объектов, обладающих одинаковой совокупностью существенных свойств и отношений – объем понятия;

4. содержание понятия – совокупность одинаковых существенных свойств и отношений, присущих каждому объекту, подводимому под это понятие;

5. совокупность системных связей понятия с другими понятиями;

6. образный – каким бы абстрактным ни было теоретическое понятие, его термин неизбежно актуализирует в сознании какое-либо представление;

7. символьное обозначение.

По нашему мнению, приступая к изучению самых первых геометрических понятий, необходимо организовать работу по установлению связей между понятием  и всеми его структурными компонентами.

Обучать выполнению содержательного анализа можно различными способами: переформулированием; переводом с одного языка на другой; объяснением и интерпретацией, вскрывающими смысл и др. [4].

Наш эксперимент показал, что выполнять содержательный анализ в  седьмом классе можно достаточно эффективно с помощью:

1. Организации диалога, построенного на основе определенным образом ориентированных вопросов. Это вопросы  на установление связей между: свойствами понятий; прошлым содержанием и новым; свойствами понятия и его приложениями; свойствами понятия и его термином; свойствами понятия и его изображением и др. Выстраивая систему ответов на подобные вопросы, можно получить смысловое (содержательное) поле, которое позволит учащемуся усмотреть содержательный смысл нового понятия, причем, на разных уровнях абстракции. В рамках того или иного смыслового поля может возникнуть учебная задача описания или определения понятия, а затем и проблема его логического анализа [2].

2. Организации деятельности со специальными заданиями:

• нацеленными на использование аналогии, примеров из опыта учащихся и других предметов;

• нацеленными на представление геометрических ситуаций на различных языках (словесный, графический, символьный), в том числе перевод с одного языка на другой, переформулирование  на одном языке (с использованием геометрических объектов, отличных от первоначально заданных);

• нацеленными на выведение следствий из ситуаций, заданных словесно, графически или символьно;

• нацеленными на подбор условий для данной ситуации;

• нацеленными на обоснование полученных следствий и подобранных условий, осознание их характера (случайность, закономерность и др.).

Реализация целей исследования достигается посредством осуществления деятельности с заданиями, которые составляются для каждого отрезка содержания (наборы заданий), и включают задания разных типов, учитывая постепенное усложнение.

Усложнение достигается благодаря возникновению большего количества связей, на установление которых нацелены задания, и путем присоединения действий, их комбинирования, которое учитель может самостоятельно осуществлять (также он может и ограничивать цели выполнения некоторых заданий), в зависимости от наличия времени и настроя учеников.

Итак, средством организации деятельности ученика и учителя выступают специально сконструированные и подобранные нами задания, которые также являются объектами изучения для ученика, позволяют ему получить новые предметные знания.

Деятельность с заданиями создает предпосылки для успешного осуществления дедуктивного доказательства, нацеливает детей на поиск связей между геометрическими объектами в дальнейшем освоении предмета. У учащихся появляется привычка искать эти связи, находить их, появляется ощущение того, что все взаимосвязано.

Важно отметить, что роль и функции учителя при организации обучения, направленного на формирование у учеников способности устанавливать содержательные связи в геометрическом материале, существенно отличаются от традиционного преподавания. Поскольку дети подросткового возраста испытывают потребность в общении, для них важно выделиться в социально значимой группе, необходимо предоставлять ученикам возможность осуществлять рассуждения самостоятельно, без опеки учителя, иначе впоследствии нельзя рассчитывать, как на самостоятельное осуществление доказательств, так и на воспроизведение рассуждений учителя. Учитель осуществляет руководство деятельностью учеников, но указания и наводящие вопросы он дает, только убедившись, что попытки учеников выполнить задание самостоятельно не увенчались успехом.

Итак, нами установлено, что если с самого начала изучение геометрии будет направлено на формирование у учеников способности устанавливать связи в изучаемом материале, это повлияет и на процесс восприятия «чужого» доказательства, и на способность осуществлять дедуктивное доказательство самостоятельно, и на процесс запоминания учениками фактологии. Следовательно, геометрия будет восприниматься ребенком не как набор отдельных фактов, а как система взаимосвязанных фактов, что обусловливает развитие мировоззрения учащихся посредством изучения геометрии.

Литература

1. Туркина В.М. Методическая система установления преемственных связей в развивающем обучении математике. Монография. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2002. –  212с.

2. Лященко Е.И. Сб.: Проблемы теории и практики обучения математике. – СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2001. – С.9 -11.

3. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов. – М..: Педагогическое общество России, 2000.  –  480  с.

4. Брудный А.А. Психологическая герменевтика. Учебное пособие. – М.: Издательство «Лабиринт», 1998. – 336 с.

Рекомегндовано к публикации:
В.В.Орлов, доктор педагогических наук, научный руководитель работы
А.А.Ахаян, доктор педагогических наук, член Редакционной Коллегии

_______ 

Elena M. Reznik
Senior lecturer of the Department of applied mathematics and econometrics, State University of Economics, St. Petersburg
elr1900@mail.ru

Training the establishment of meaningful connections, as a means of implementing deductive proof

The article deals with the problem of objective complexity of the implementation of the deductive studies in the study of the geometry of the seventh grade students and provides tools to solve this problem 

Key words: deductive proof, meaningful analysis, meaningful connections, dialogue, quests

Literatura

1. Turkina V.M. Metodicheskaya sistema ustanovleniya preyemstvennyh svyazey v razvivayushem obuchenii matematike. Monografiya. – SPb.: Izd-vo RGPU im. A.I.Gertzena, 2002. – 212s.

2. Lyashenko E.I. Sb.: Problemy teorii i practiki obucheniya matematike. – SPb.: Izd-vo RGPU im. A.I.Gertzena, 2001 – s. 9-11.

3. Davydov V.V. Vidy obobsheniya v obuchenii: Logiko-psihologicheskiye problemy postroeniya uchebnyh predmetov. – M.: Pedagogicheskoye obshestvo Rossii, 2000. – 480 s.

4. Brudny A.A. Psihologicheskaya germenevtika. Uchebnoye posobie. – M.: Izdatel’stvo “Labirint”, 1998 – 336 s.