Abstract
The article deals with the issue of propaedeutics of the development of critical thinking in the secondary school, gives practical recommendations on the choice of mathematical tasks for the development of critical thinking in the 6th grade.

Key words: critical thinking, teacher, student, exercise.

----------------

В XX веке появляется значительное количество новых терминов, связанных с мышлением: латеральное мышление, клиповое мышление, креативное мышление и др. Проводятся новые исследования в области физиологии мозга. В XXI веке не снижается интерес к вопросам о том, как человек мыслит, какие физиологические процессы происходят при активном мыслительной деятельности, как улучшить память человека и другие подобные вопросы. К ним добавляются вопросы о возможностях искусственного интеллекта, о влиянии цифровизации на мышление человека, ведутся дискуссии о внедрении чипов в тело человека, одной из функций которых подразумевается выполнение части мыслительных операций машиной, например, вычислений. При этом возросла потребность в интеллектуальных способностях человека. Специалисты с высоким уровнем мышления нужны не только в научной сфере, но и в бизнесе, на производстве, в социальной среде, практически во всех сферах деятельности человека. Глобальная сеть «пестрит» предложениями разного уровня тренеров, учителей, «гуру» по оказанию платной помощи в повышении IQ, улучшению памяти, развитию критического мышления и прочих услуг. Большинство из данных предложений - обычное «шарлатанство». Развивать интеллектуальные способности человека, мышление могут в системе квалифицированные дипломированные специалисты, при этом заинтересованные лица, например, родители детей, репетиторы, могут оказывать содействие. Институтами развития учеников, студентов в настоящее время являются школы, вузы. Развитие личности ученика, в том числе его мышления, - одна из основных целей любого учебного учреждения. Другой вопрос, что мир выдвигает запрос на определенные характеристики мышления, например, нужны специалисты с гибким мышлением, творческим мышлением или, скажем, с высокой скоростью мышления. Несколько десятилетий не теряет актуальности вопрос о критическом и творческом мышлении. Творческое и критическое мышление имеют ряд соприкосновений (пересечений), но при этом есть одно ярко выраженное отличие. И тот и другой тип мышления подразумевает генерацию новых идей, но при этом критическое мышление включает в себя рефлексию, анализ идей, возврат к начальным данным, определенную долю сомнения в правильности рассуждений. Коснемся вопроса о развитии критического мышления (далее КМ) в школе.

Согласно исследованиям Жана Пиаже, мышление детей развивается по определенным этапам. До 7 лет дети много фантазируют. «Он отмечал, что ввиду отсутствия необходимости в дедуктивном и аналитическом мышлении дети не считают для себя нужным проводить четкое разграничение между «реальным» и «нереальным». Поскольку работа их мозга не направлена на установление причинно-следственных взаимосвязей, им абсолютно все кажется возможным». [с. 341, 1]. В возрасте 7-8 лет дети начинают разграничивать вымысел и реальность, у них возникают представления о достоверности информации. «В возрасте 6 лет ребенок может думать, что река течет вниз с горы, потому что ей так хочется. Годом позже он уже будет объяснять это тем, что «вода всегда течет вниз, поэтому эта речка и течет вниз с этой горы» [с. 341, 1]. До 11-12 лет мозг как бы настраивается на взрослое мышление, ещё много эгоцентризма в рассуждениях детей. У подростка 12 лет уже более выражены способности к логике, к абстрактному мышлению, появляется стремление быть объективным. по мнению Жана Пиаже «к 14-16 годам у человека наступает этап, когда создаются наилучшие условия для развития критического мышления» [с.10, 2]. Таким образом, активно развивать критическое мышление целесообразно у старшеклассников. В современной российской школе 14 лет, как правило, исполняется к восьмому классу. В 6-7 классе уместно проводить пропедевтику развития критического мышления.

В данной статье не рассматриваются вопросы о том «что такое КМ» и «зачем надо развивать КМ». Наиболее актуальный вопрос на сегодня – «как развивать КМ». По мнению специалистов по педагогике, психологии КМ надо развивать комплексно, в разрезе разных предметных областей. Довольно много диссертаций посвящено развитию КМ при изучении конкретных предметов. Разработана и успешно применяется технология развития КМ через чтение и письмо. Данная статья посвящена развитию КМ на уроках математики, более конкретно – пропедевтике развития КМ в 6 классе. Существуют различные приемы развития КМ: анализ и сравнение данных, составление классификаций математический объектов, чтение с карандашом и другие. Мы остановимся на наиболее простом и доступном приеме – развитие КМ посредством решения упражнений (примеров и задач), ориентированных на развитие КМ. Е.И. Лященко говорит, что «так как основным средством организации деятельности учащихся при изучении математики являются математические задачи, то существенную роль играет определение набора задач либо выбор типичной задачи» [с. 30, 3].

Анализ российских учебников за 6 класс показал, что в них содержится достаточно материала для развития КМ. Практически в любом учебнике есть упражнения и задачи, которые способствуют развитию КМ. Другой вопрос, что эти задания, как правило, требуют определенных умственных усилий и значительно больше времени для решения. По этой причине учителя часто «обходят стороной» данные упражнения. Не каждый учитель сможет определить критерии, по которым можно классифицировать данную задачу на предмет развития КМ.

Рассмотрим один из распространенных учебников по математике за 6 класс, авторы Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд [4]. Проанализируем первые 200 упражнений учебника на предмет развития КМ, проведя классификацию видов заданий.

1. Задания по комбинаторике.

 
24. Сколько существует флагов, составленных из трёх горизонтальных полос одинаковой ширины и различных цветов — белого, зелёного, красного и синего? Есть ли среди этих флагов Государственный флаг Российской Федерации?
     
Решение: Если верхний цвет белый, мы имеем 6 вариантов: БСК, БСЗ, БКС, БКЗ, БЗС, БЗК (лучше показать варианты в виде «дерева»). Для верхнего цвета есть 4 варианта (Б, С, К, З). Следовательно, всего 6∙4=24 варианта.

Ответ: 24 флага, среди которых есть флаг РФ (БСК).

Это стандартная комбинаторная задача, но для ученика 6 класса, незнакомого с разделом «Комбинаторика», с соответствующими формулами и правилами, задача подразумевает новый вид рассуждения, необходимо выстроить «логику перебора», открыть самому «правило умножения». Критичность мышления заключается в том, что ученик должен сообразить, как выстроить перебор, не упуская ни один вариант. Допустимы вначале рассуждения хаотичные предложения. Интересен вопрос и о Российском флаге. Большинство учеников знают цвета флага, но немногие знают порядок следования цветов. Можно дать задание: где в школе или кабинете математики можно уточнить данную информацию. Это задание стимулирует мышление, в том числе критическое. Среди первых 200 упражнений в данном учебнике встречается достаточное количество задач по комбинаторике: 23, 24, 35, 80, 81, 108, 109, 137, 160, 194.
 
2. Индукция и обобщение.

 
43. Если к числу прибавить 4, то полученное число разделится без остатка на 6. Чему равен остаток от деления первого числа на 6?
     
В общем виде шестикласснику тяжело решить подобное задание. Можно предложить решить задание на конкретных числах.

30 делится на 6, до прибавления 4 было число 26.

26 : 6 = 4 (ост. 2).

Пробуем ещё один пример: 36 – 4 = 32, 32 : 6 = 5 (ост. 2).

Теперь можно обобщить рассуждения: число, которое делится на 6 в общем виде можно записать 6n, теперь вычтем из него 4, получим 6n-4. Чтобы данное число делилось на 6 надо вычесть 2. Если же к числу 6n-4 прибавить 6, получим: 6n-4+6=6n+2. Данное выражение при делении на 6 дает остаток 2. Ответ: 2.

Данное задание развивает КМ, ученик учится рассуждать, от частного к общему, при этом необходимо акцентировать внимание на том, что несколько частных примеров не дают повод делать вывод о всех решениях, необходимо провести доказательство в общем. Критически мыслящий человек не делает выводы о достоверности информации, если она услышана от нескольких частных лиц.
 

3. Задачи с параметром.

 
51. При каких натуральных значениях а дробь (a – 3)/8 будет правильной и при каких натуральных значениях b дробь 9/(b + 2) будет неправильной?
     
Важно рассмотреть все варианты решений, учесть, что числитель и знаменатель не могут быть равны 0, знать определения правильной (числитель меньше знаменателя) и неправильной (числитель больше или равен знаменателя) дробей.

Опустим перебор для значений a и b.

Ответ: а = 4; 5; … 10 b = 1; 2; … 7.

Почти все задания с параметром подразумевают вариативность решений, что безусловно развивает КМ.
 
4. Задачи со «звездочкой».

 
79. Какие цифры следует поставить вместо * в записи 2*5, 46*, *14, чтобы получившиеся числа делились на 3?
     
Задания со «звездочкой» развивают КМ, так как может быть несколько решений, надо помнить, что «0» не может быть в первом разряде.

Ответ: 225, 255, 285; 462, 465, 468; 114, 414, 714.

Аналогично рассуждая, можно выделить и другие виды задач, развивающие КМ, например, задания на сочетание логики и перебора (№ 71 б), получение двух и более ответов при решении одной задачи (72 г), задачи с геометрическим содержанием (140), формулировка новой задачи-модели (191).

Перечислим номера заданий из первых 200 упражнений, которые, по мнению автора статьи, развивают КМ: 14, 24, 35, 43, 51, 63, 71 б) 72 г) 74, 79, 80, 81, 108, 109, 112, 114, 127, 133, 136, 140, 160, 168, 182, 187, 189, 191, 194. Таким образом, получаем 27 заданий из 200, это, грубо говоря, десятая часть (точно 13,5 %). Такого объема вполне достаточно для пропедевтики развития КМ в 6 классе.

При проведении анализа учебников и дидактических материалов по алгебре для 7 класса разных авторских линий (учебно-методический комплект (далее УМК) Ю.Н. Макарычева и др. [5], УМК А.Г. Мордковича и др. [6]) было установлено, что имеется примерно такой же объем упражнений (порядка 10 %), развивающих КМ. В УМК с углубленным уровнем алгебры для 7 класса количество заданий на развитие КМ мышления значительно выше (20-30 %). Учебник по геометрии линии Л.С. Атанасян и др. [7] также содержит достаточное количество задач, развивающих КМ (не менее 20%). Развитие КМ на геометрическом материале заслуживает отдельного внимания, этот вопрос не входит в задачу данной статьи.

Основные выводы:

• целесообразно начинать пропедевтику развития критического мышления в 6-7 классах российской школы (возраст 12-13 лет);
   
• наиболее простым и доступным методом развития КМ на уроках математики является решение упражнений (примеров и задач), ориентированных на развитие КМ;
   
• в современных российских учебниках по математике для среднего звена достаточно заданий на развитие КМ;
   
• для развития КМ у обучаемых учителю необходимо владеть понятием КМ, иметь «установку» на развитие КМ, уметь выделять упражнения на развитие КМ, мотивировать школьников на решение подобных заданий.

Пропедевтика развития критического мышления на уроках математики в 6-7 классах способствует повышению уровня развития мыслительных операций обучающихся, «подготавливает» ученика к развитию мышления в старшей школе.

Литература

1. Батлер-Боудон, Том. 50 великих книг по психологии / Том Батлер-Боудон; [пер. с англ. В. Соколовой]. – Москва: Эксмо, 2018.

2. Заир-Бек С.И. Развитие критического мышления на уроке: пособие для учителей общеобразовательных учреждений / С.И. Заир-Бек, И.В. Муштавинская. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2011.

3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики. / Под ред. Е.И. Лященко. – М.: Просвещение, 1988.

4. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н.Я. Виленкин и др.]. – 20-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2007.

5. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова]; под. ред. С.А. Теляковского. – 16-е изд. – М. : Просвещение, 2007. – 240 с.

6. Мордкович А.Г. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций (углубленный уровень). В 2 ч. Ч.2 / А.Г. Мордкович, Н.П. Николаев. – 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2021. – 231 с.

7. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций / [Л.С. Атанасян и др.]. – 13-е изд., стер. – М.: Просвещение, 2022. – 383 с.

Рекомендовано к публикации:
Е.А.Ермак, доктор педагогических наук, научный руководитель работы,
Е.С.Заир-Бек, доктор педагогических наук, член Редакционной Коллегии

Literature

1. Batler-Boudon, Tom. 50 velikih knig po psihologii / Tom Batler-Boudon; [per. s angl. V. Sokolovoj]. – Moskva: Eksmo, 2018.

2. Zair-Bek S.I. Razvitie kriticheskogo myshleniya na uroke: posobie dlya uchitelej obshcheobrazovatel'nyh uchrezhdenij / S.I. Zair-Bek, I.V. Mushtavinskaya. – 2-e izd., dorab. – M.: Prosveshchenie, 2011.

3. Laboratornye i prakticheskie raboty po metodike prepodavaniya matematiki. / Pod red. E.I. Lyashchenko. – M.: Prosveshchenie, 1988.

4. Matematika. 6 klass: ucheb. dlya obshcheobrazovat. uchrezhdenij / [N.YA. Vilenkin i dr.]. – 20-e izd., ster. – M.: Mnemozina, 2007.

5. Algebra: ucheb. dlya 7 kl. obshcheobrazovat. uchrezhdenij / [YU.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; pod. red. S.A. Telyakovskogo. – 16-e izd. – M. : Prosveshchenie, 2007. – 240 s.

6. Mordkovich A.G. Algebra. 7 klass. Uchebnik dlya obshcheobrazovatel'nyh organizacij (uglublennyj uroven'). V 2 ch. CH.2 / A.G. Mordkovich, N.P. Nikolaev. – 13-e izd., ster. – M.: Mnemozina, 2021. – 231 s.

7. Geometriya. 7-9 klassy: uchebnik dlya obshcheobrazovatel'nyh organizacij / [L.S. Atanasyan i dr.]. – 13-e izd., ster. – M.: Prosveshchenie, 2022. – 383 s.