Abstract
At the current stage of Russia's development, the training of engineering personnel is especially relevant. Spatial thinking plays an important role in the intellectual training of engineers. The article presents a model for the development of spatial thinking of students of a technical university in the process of teaching mathematics.

Key words: spatial thinking, mathematical training of an engineer, model of spatial thinking development.

----------------

На сегодняшнем этапе развития, Россия как никогда нуждается в высококомпетентных инженерно-технических кадрах. В настоящее время всё больше говорят об инновационном инженере, который должен уметь применять знания на практике, владеть цифровыми технологиями, быть готовым к постоянному самообразованию, работе в команде, к ответственности за результаты своей деятельности. Важно отметить интеллектуальную и гуманитарную подготовку инженеров; России нужны образованные, люди, отличающиеся мобильностью, динамизмом, которые обладают развитым чувством ответственности за судьбу своей страны. «Историческая миссия отечественной системы образования всегда состояла в воспитании гражданственности и патриотизма, ответственности за судьбу страны» подчеркнул В.В. Путин на открытии года педагога и наставника. А, как известно, воспитание интеллектуальной и духовной культуры человека тесно связано с формированием мышления, развитием и совершенствованием всех качеств ума. В основе преподавания должно лежать обучение мышлению.

Неотъемлемой частью инженерной профессии является умение ориентироваться в конструкторской и технологической документации, оперировать пространственными образами, способность видеть взаимодействие трехмерных компонентов. Известный российский психолог И.С. Якиманская считает, что пространственное мышление является одним из профессионально важных качеств инженера. Таким образом, развитие пространственного мышления является важной задачей в подготовке современного инженера. «Сформированное системно-пространственное мышление рассматривается как база развития специальных способностей, является предпосылкой успешного овладения научно-технической, изобразительно-художественной и другими видами деятельностей, связанных с конструкторским мышлением и техническим творчеством» [1]. Доктор химических наук, директор исследовательской школы химических и биомедицинских технологий Томского политехнического университета М. Е. Трусова так показывает необходимость развития пространственного мышления у будущих инженеров-химиков: «Молекулы в тетрадке плоские, а в реальном мире объемные. Это часто сбивает с толку студентов и школьников. Потому что непонятно, например, почему катализатор присоединяется к молекуле слева, а не справа. Пространственное мышление… очень помогает понимать химию» [2]. Однако, как показывает практика, большая часть первокурсников не могут представлять трёхмерные объекты в деталях, оперировать пространственными образами, строить чертежи к геометрическим задачам, интерпретировать информацию (математическую, химическую и т.д.), представленную в виде графиков, диаграмм и т.д.

Как известно, ключевой дисциплиной, формирующей у студентов пространственное мышление в вузе, является начертательная геометрия. Однако, развивать пространственное мышление возможно и в процессе обучения математике. Математика в техническом вузе – особая дисциплина, это основа всего естественно-научного знания. Для математики характерны аналитический стиль и высокий уровень обобщенности и абстракции суждений. Математика имеет большие дидактические возможности для развития пространственного мышления, и, с другой стороны, без опоры на пространственное мышление невозможно освоение некоторых тем курса математики в техническом вузе. Цель статьи – описать модель развития пространственного мышления студентов технического вуза в процессе обучения математике, в основе которой лежит специально разработанная система учебных и математических задач.

Развитию пространственного мышления посвящены работы известных учёных-математиков, педагогов, психологов (А.Н. Колмогоров, В.А. Далингер, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцева, И.Ф. Шарыгина, И.С. Якиманская, Б.Ф. Ломов, Ж. Пиаже, С.Л. Рубинштейн, Г.И. Лернер и др).

Во многих исследованиях рассматриваются вопросы развития пространственного мышления у обучающихся педагогических вузов ([3], [4], [5] и др.). Так, например, Матиева Г. в своей работе [3] представляет кейс-метод как основной метод в подготовке будущего учителя математики к формированию пространственного мышления школьников (на примере курса геометрии). В работах [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13] описана роль информационных технологий, а также графических дисциплин (в основном начертательной геометрии) в формировании пространственного мышления обучающихся. Так, Н. В. Бауэр, Н. И. Красовская, И. В. Шушарина разработали модель методической системы формирования пространственного мышления студентов на занятиях по начертательной геометрии в техническом вузе [7]. Коллектив авторов А. И. Фоломкин, С. А. Чупин, О. В. Трубецкая, В. В. Шарок разработали программу-тренажер для развития пространственного мышления студентов инженерных специальностей, изучающих дисциплину «Начертательная геометрия» [8]. Никляев А.И. и Бронникова Л.М. рассматривали возможности применения интерактивных геометрических сред на уроках геометрии на примере программного обеспечения «GeoGebra» и «Cabri 3D» [13]. Проблема математической подготовки будущего инженера рассматривалась многими учёными ([14], [15], [16], [18], [19], [20], [21], [22], [23] и др.). В этих исследованиях рассматривались вопросы профессионально-направленной подготовки и применения интерактивных методов в процессе изучения математики ([17], [18], [19], [26], [27]); исследовались формирование математической компетентности и математической культуры ([15], [16], [18], [23]), а также математического мышления ([20], [21]); представлено применение IT технологий в процессе обучения математике ([22], [24], [25] и др); во многих работах отмечается слабый уровень подготовки абитуриентов, сокращение часов, отведенных на изучение математики. Достаточно большое количество исследований посвящено формированию пространственного мышления посредством применения в процессе обучения математике специально разработанной системы задач. Учёные также предлагают различные классификации задач, направленные на развитие пространственного мышления. Однако, большая часть исследований относится к школьному курсу геометрии ([28] - [34]). Гришаева А.Ю. представила свою классификацию типовых заданий, направленных на развитие пространственного мышления: изменение положения воображаемого объекта, изменение структуры объекта, комбинация этих преобразований [30]. Торогельдиева К.М. и Жуманова Г.Т. предлагают использовать на уроках геометрии задачи, описывающие конкретные жизненные ситуации [31]. Коваленко Н.В. считает, что основной технологией развития пространственного мышления является метод визуализации учебной информации [34]. Немногочисленная часть работ посвящены формированию пространственного мышления студентов технического вуза в процессе изучения математики. Так, Голышевой С.П. разработаны задания по теме «Геометрические приложения кратных интегралов», применяемые на определенных этапах учебного занятия в техническом вузе [35]. Таким образом, проблема развития пространственного мышления в процессе обучения математике в техническом вузе изучена не достаточно и остаётся актуальной.

Теоретической базой для нашего исследования послужили основополагающие работы известных учёных в области пространственного мышления: Г.Д. Глейзера [28 и др.], И. С. Якиманской [29 и др.], И.Я. Каплуновича [36 и др.]. Проанализировав различные подходы авторов к определению термина пространственного мышления, согласимся с Г.Д. Глейзером и И.Я. Каплуновичем, которые определяют пространственное мышление как «..вид умственной деятельности, обеспечивающей создание пространственных образов и оперирование ими в процессе решения практических и теоретических задач» [28].

В нашем исследовании будем опираться на типы пространственного мышления, выделенные И.С. Якиманской, И.Я Каплуновичем [36] (рис. 1).

Рис. 1. Типы пространственного мышления (И.С. Якиманская, И.Я Каплунович)

И.С. Якиманская выделяет следующие показатели для оценки уровня сформированности пространственного мышления: 1) успешность создания образа; 2) тип оперирования образом; 3) широта оперирования образом; 4) полнота образа [29]. Для высокого уровня сформированности пространственного мышления характерны: простота преобразования созданного образа; свободное использование изображений; быстрый переход от одного графического изображения к другому; мысленная перегруппировка элементов объекта; видение в статистическом изображении движение, перемещение объектов. Средний уровень характеризуется возникшими трудностями при преобразовании пространственных отношений; слабо развит такой показатель как полнота образа. Обучающиеся – обладатели низкого уровня развития пространственного мышления, сталкиваются с трудностями при смене точки отсчёта, рассмотрении изображения с разных точек зрения, а также с мысленным оперированием пространственными образами.

На основе имеющихся классификаций задач, а также ориентируясь на выделенные типы пространственного мышления, мы выделили виды задач, направленных на развитие данного типа мышления (рис. 2).

Рис. 2. Виды задач на развитие пространственного мышления

Как показывает практика, первокурсники технических вузов, начиная изучать математику на первом курсе, не умеют устанавливать соответствие между графическими объектами и их описанием, анализировать взаимное расположение фигур, не умеют выполнять чертежи исходя из условий задачи, видеть объекты в пространстве и движении и т.д. Математическая подготовка будущего инженера направлена на формирование общепрофессиональной компетенции из категории фундаментальной подготовки, которая в ФГОС ВО 3++ формулируется следующим образом: «Способен использовать математические, физические, физико-химические, химические методы для решения задач профессиональной деятельности» (на примере направления подготовки бакалавров 18.03.01 «Химическая технология»). Именно при обучении решению задач можно сформировать необходимые навыки.

С нашей точки зрения, за основу методической системы, направленной на развитие пространственного мышления в процессе обучения математике в техническом вузе необходимо принять следующие положения:

• анализ возможностей учебного материала и формулировку целей обучения, развития и воспитания математике;
   
• использование в учебном процессе специально разработанных учебных и математических задач как средства достижения целей;
   
• применение интерактивных методов включения разработанных учебных и математических задач в учебный процесс.

Опираясь на данные положения, мы разработали модель методической системы развития пространственного мышления в процессе обучения математике в техническом вузе (рис. 3).

В Тюменском индустриальном университете математика относится к части так называемого инженерного стандарта и изучается три семестра общим объёмом 9 зачётных единиц.

Рис. 3. Модель методической системы развития пространственного мышления в процессе обучения математике

Программа курса традиционно включает следующие разделы: линейная и векторная алгебра; аналитическая геометрия; дискретная математика; комбинаторика; дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения; элементы теории функций комплексного переменного; элементарная теория вероятностей, модели случайных процессов, проверка гипотез, статистические методы обработки экспериментальных данных.

Анализ учебного материала показывает, что наиболее целесообразно предлагать обучающимся задачи на развитие пространственного мышления при изучении следующих дидактических единиц курса математики в техническом вузе: векторная алгебра и аналитическая геометрия, математический анализ (функции и графики, функции нескольких переменных, линии в пространстве, поверхности, приложения интегралов, интегралы по поверхности). В таблице 1 представлены возможности изучаемого материала для каждого выделенного вида учебных и математических задач (распределение по темам носит условный характер, так как в каждой из указанных тем могут быть использованы задачи всех выделенных видов).

Таблица 1

Соотнесение задач с темами курса математики

Приведём примеры задач, направленных на развитие пространственного мышления.

Задача 1. Чтобы получить представление о форме эллипса, его можно построить с помощью простого приспособления, основанного на определении эллипса:

• закрепите концы нитки в двух точках;
   
• натяните нитку карандашом;
   
• проведите линию, сохраняя нитку в натянутом состоянии (рис. 4).

Рис. 4. К задаче 1

Объясните, почему полученная линия будет являться эллипсом.

Задача 2. а) нарисуйте поверхность, которая получается вращением гиперболы вокруг её действительной оси; б) нарисуйте поверхность, которая получается вращением гиперболы вокруг её мнимой оси.

Задача 3. Цилиндр, основанием которого служит эллипс, пересечён наклонной плоскостью, проходящей через малую ось эллипса. Получается тело, изображённое на рисунке 5. Найдите объём этого тела.

Рис. 5. К задаче 3

Задача 4. Круг переменного радиуса перемещается таким образом, что дна из точек его окружности остаётся на оси абсцисс, центр движется по окружности x²+y²=r², а плоскость этого круга перпендикулярна к оси абсцисс. Найдите объём тела, которое при этом получается.

Задача 5. Резервуар для хранения зерна имеет форму тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y=2x-x²,y=0 (x и y - в метрах). 1. Определите стоимость краски, требуемой для покраски резервуара (снаружи и внутри), если 1 литр краски стоит 540 руб. 2. Сколько потребуется рейсов пятитонного грузовика для перевозки груза, заполняющего весь объём резервуара, если масса 1 м³ равна 400 кг.

Методические приемы, формы и средства обучения математике ориентируются на применение в учебном процессе разработанных учебных задач. Задачи используют при проведении лекций, практических и лабораторных занятий, а также в самостоятельной работе обучающихся. Традиционные методы и технологии заменяются активными и интерактивными (проектное обучение; командная работа (метод малых групп), электронное обучение; междисциплинарный подход; Сase-study; математическое моделирование; перевернутый класс «flipped classroom»).

Предложенная модель развития пространственного мышления студентов может служить фундаментальной основой подготовки интеллектуальной компоненты инновационного инженера. Её реализация позволит осуществить подготовку инженеров, отвечающих требованиям инновационной экономики России.

Литература

1. Русинова, Л. П. Формирование системно-пространственного мышления студентов технических вузов: на примере преподавания начертательной геометрии: специальность 13.00.08 «Теория и методика профессионального образования»: Автореферат на соискание кандидата педагогических наук / Русинова, Л. П.; Глазовский гос.пед.институт им. В.Г. Короленко. Ижевск, 2007. 22 c.

2. Трусова М.Е. Зачем химикам начертательная геометрия, и как «взломать» химию? [Текст] / М.Е. Трусова // HED . 2021. № 3 (9) . — С. 20-22.

3. Матиева, Г. Болочок математика мугалимин окуучулардын мейкиндик ой жүгүртүүсүн калыптандырууга кейстер аркылуу даярдоо / Г. Матиева, Г. М. Борбоева, Г. И. Сейитказыева // Известия Национальной Академии наук Кыргызской Республики. 2022. No. S5. P. 68-73. EDN UJJQZE.

4. Геометриялык түшүнүктөрдү кийрүүдө конкреттүү-индуктивдүү метод математик-студенттин мейкиндик ой жүгүртүүсүн калыптандыруу каражаты катары / Г. М. Борбоева, Г. Т. Токтобаева, Н. Алижан К, К. С. Уразова // Илим. Билим. Техника. 2022. No. 3(75). P. 165-169. DOI 10.54834/16945220_2022_3_165. – EDN CLUWGM.

5. Борбоева, Г. М. Место наглядности в развитии пространственного мышления будущих учителей математики / Г. М. Борбоева // Научное обозрение. Педагогические науки. 2020. № 2. С. 54-59. DOI 10.17513/srps.2288. EDN DELJKH.

6. Төрөгельдиева, К. М. Маалыматтык технологияларды колдонуу менен жогорку класстын окуучуларынын мейкиндиктик ой жүгүртүүсүн калыптандыруу жана өнүктүрүү / К. М. Төрөгельдиева, Г. Т. Жуманова // Наука, новые технологии и инновации Кыргызстана. 2022. No. 5. P. 182-186. DOI 10.26104/NNTIK.2019.45.557. EDN HYMITE.

7. Интерактивные методы формирования пространственного мышления будущих инженеров / Н. В. Бауэр, Н. И. Красовская, И. В. Шушарина [и др.] // Высшее образование сегодня. 2020. № 8. С. 25-29. DOI 10.25586/RNU.HET.20.08.P.25. EDN KHBZRO.

8. Разработка программы-тренажера на базе нейронных сетевых технологий для развития пространственного мышления студентов / А. И. Фоломкин, С. А. Чупин, О. В. Трубецкая, В. В. Шарок // Перспективы науки и образования. 2022. № 3(57). С. 582-602. DOI 10.32744/pse.2022.3.34. EDN PRFDSZ.

9. Белавина, Т. В. Роль дисциплины «Инженерная и компьютерная графика» в развитии пространственного мышления у студентов инженерных специальностей / Т. В. Белавина, М. Р. Саляхова // Гуманитарные науки в XXI веке: научный Интернет-журнал. 2023. № 22. С. 30-41. EDN FAAVZU.

10. Епифанова, С. В. Проблемы развития пространственного мышления у обучающихся инженерно-технических специальностей / С. В. Епифанова, Б. К. Калиев, Е. Б. Болат // Вестник КГПИ. 2023. № 1(69). С. 19-25. EDN DZGSQI.

11. Кобесашвили, Н. Л. Формирование пространственного мышления у студентов технического вуза / Н. Л. Кобесашвили // Проблемы современного педагогического образования. 2020. № 69-2. С. 90-93. EDN ISCIFF.

12. Данилова, Е. А. Теория и практика начертательной геометрии в техническом вузе / Е. А. Данилова, А. А. Чекалин // Журнал естественнонаучных исследований. 2021. Т. 6, № 2. С. 15-18. EDN SULBCJ.

13. Никляев, А. И. Информационно-коммуникационные технологии как средство формирования пространственного мышления школьников / А. И. Никляев, Л. М. Бронникова // Вестник Шадринского государственного педагогического университета. 2021. № 4(52). С. 107-110. DOI 10.52772/25420291_2021_4_107. EDN SEATHH.

14. Табинова О. А. Формирование готовности выпускников школ к продолжению математического образования в вузе : специальность 13.00.02 «Теория и методика обучения и воспитания (по областям и уровням образования) » : Автореферат на соискание кандидата педагогических наук / Табинова О. А. ; Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева. — Красноярск, 2020. — 24 c.

15. Раҷабова, С. Ҷ. Махсусиятҳои ташаккули салоҳияти математикии муаллимони ояндаи фанни математика / С. Ҷ. Раҷабова // Паёми Донишгоҳи миллии Тоҷикистон. 2023. No. 3. P. 322-328. EDN LZJYTS.

16. Канашевич, Т. Н. Условия эффективности изучения физико-математических дисциплин при формировании профессиональной компетентности у студентов технического университета / Т. Н. Канашевич // Университетский педагогический журнал. 2021. № 1. С. 22-30. EDN NAAJNW.

17. Использование профессионально ориентированных задач математического моделирования при обучении математике в аграрном вузе / Е. В. Савельева, Д. В. Здор, О. Е. Федореева [и др.] // Педагогический журнал. 2023. Т. 13, № 4-1. С. 431-443. DOI 10.34670/AR.2023.62.54.052. EDN GLTZJM.

18. Салтыкова, Е. В. Формирование профессиональной компетентности будущих инженеров с помощью профессионально ориентированных задач при обучении математике / Е. В. Салтыкова, А. В. Овсянников // Вестник педагогического опыта. 2021. № 48. С. 87-91. EDN DEGNVT.

19. Ноговицина, О. В. Методические аспекты решения практических задач при обучении математике в техническом ВУЗе / О. В. Ноговицина, Д. Р. Хамзина, А. В. Сарапулова // Вестник педагогических наук. 2024. № 5. С. 56-61. DOI 10.62257/2687-1661-2024-5-56-61. EDN RYGGZV.

20. Садиева, М. Э. Математикалык ой жyгyртyyнy калыптандырууга карата тапшырмаларды TY3YYHYH булактары / М. Э. Садиева, Ж. М. Койчуманова, С. К. Калдыбаев // Известия Кыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова. 2022. No. 3(63). P. 284-289. DOI 10.56634/16948335_2022_3_284. EDN EPUPUI.

21. Зайдуллоев, Н. Истифодаи роҳу усули муосири таълим ва самаранокии онҳо дар ташаккули тафаккури математикии хонандагон / Н. Зайдуллоев // Паёми Пажӯҳишгоҳи рушди маориф. 2023. No. 1(41). P. 242-244. EDN EZDKEY.

22. Гобыш, А. В. Опыт внедрения цифровых технологий в математическую подготовку инженеров / А. В. Гобыш // Вестник Тверского государственного университета. Серия: Педагогика и психология. 2023. № 1(62). С. 176-185. DOI 10.26456/vtpsyped/2023.1.176. EDN KSIIWP.

23. Татьяненко С. А., Чижикова Е. С. Методы формирования Hard Skills и Soft Skills в процессе изучения математики в техническом вузе в условиях перехода на ФГОС 3++ // Письма в Эмиссия.Оффлайн. 2019. № 12. С. 2797.

24. Нонь Н. А., Позднякова Н. А., Фомина А. В. Модель формирования информационно-математической компетентности студентов в системе бакалавриата [Электронный ресурс] // Научно-методический электронный журнал "Концепт". 2023. № 9. С. 28-42. URL: https://doi.org/10.24412/2304-120X-2023-11080 [Дата обращения 01.10.2024]

25. Pradana L. N., Sholikhah O. H., Maharani S. Virtual Mathematics Kits (VMK): Connecting Digital Media to Mathematical Literacy [Электронный ресурс] // International journal of emerging technologies in learning. 2020. Vol. 15. № 3. P. 234–241. URL: https://doi.org/10.3991/ijet.v15i03.11674 [Дата обращения 01.10.2024]

26. Vale I., Barbosa A. Active learning strategies for an effective mathematics teaching and learning [Электронный ресурс] // European Journal of Science and Mathematics Education. 2023. 11(3). Р. 573–588.

27. Lazzari E. Flipped learning and affect in mathematics: Results of an initial narrative analysis [Электронный ресурс] // European Journal of Science and Mathematics Education. 2023. №11(1). P. 77–88. URL: https://doi.org/10.30935/scimath/12435 [Дата обращения 01.10.2024]

28. Глейзер, Григорий Давыдович. Методы формирования и развития пространственных представлений взрослых в процессе обучения геометрии в школе : диссертация ... доктора педагогических наук : 13.00.02. - Москва, 1984. - 333 c.

29. Развитие пространственного мышления школьников / И. С. Якиманская. - Москва : Педагогика, 1980. - 240 с. : ил.; 20 см.; ISBN В пер. (В пер.).

30. Гришаева, А. Ю. К вопросу о развитии пространственного мышления учащихся девятых классов в процессе обучения математике / А. Ю. Гришаева // Ratio et Natura. 2023. № 2(8). EDN IYQTCM.

31. Торогельдиева, К. М. Интегрированный подход к развитию и формированию пространственного мышления на уроках геометрии / К. М. Торогельдиева, Г. Т. Жуманова // Вестник Ошского государственного университета. Педагогика. Психология. 2024. № 1(4). С. 60-66. DOI 10.52754/16948742_1(4)_7-2024. EDN FLUFJT.

32. Аргунова, Н. В. Развитие пространственного мышления обучающихся при решении геометрических задач с элементами якутского быта и зодчества / Н. В. Аргунова, А. П. Аргунова, А. М. Попова // Педагогика. Вопросы теории и практики. 2020. Т. 5, № 1. С. 17-21. DOI 10.30853/pedagogy.2020.1.3. EDN DVJYGF.

33. Демина, А. Н. Развитие пространственного мышления младших школьников (на примере уроков математики) / А. Н. Демина // Известия института педагогики и психологии образования. 2021. № 1. С. 91-96. EDN XGCBJC.

34. Коваленко, Н. В. Роль визуализации в развитии пространственного мышления обучающихся средней школы / Н. В. Коваленко, М. В. Иванова // Дидактика математики: проблемы и исследования. 2022. № 1(55). С. 82-89. DOI 10.24412/2079-9152-2022-55-82-89. EDN HHTJGX.

35. Голышева, С. П. Развитие пространственного мышления студентов инженерно-технических направлений посредством изучения геометрических приложений кратных интегралов / С. П. Голышева // Педагогика. Вопросы теории и практики. 2020. Т. 5, № 4. С. 532-539. DOI 10.30853/ped200118. EDN AMVLPV.

36. Каплунович И. Я. Содержание мыслительных операций в структуре пространственного мышления // Вопросы психологии, 1987. № 6. с. 115 — 122.

Рекомендовано к публикации:
А.А.Ахаян, доктор педагогических наук, член Редакционной Коллегии

Literature

1. Rusinova, L. P. Formirovaniye sistemno-prostranstvennogo myshleniya studentov tekhnicheskikh vuzov: na primere prepodavaniya nachertatel'noy geometrii: spetsial'nost' 13.00.08 «Teoriya i metodika professional'nogo obrazovaniya»: Avtoreferat na soiskaniye kandidata pedagogicheskikh nauk / Rusinova, L. P.; Glazovskiy gos.ped.institut im. V.G. Korolenko. Izhevsk, 2007. 22 c.

2. Trusova M.Ye. Zachem khimikam nachertatel'naya geometriya, i kak «vzlomat'» khimiyu? [Tekst] / M.Ye. Trusova // HED . 2021. № 3 (9) . — S. 20-22.

3. Matieva, G. Boloçok matematika mugalimin okuuçulardın meykindik oy jügürtüüsün kalıptandıruuga keyster arkıluu dayardoo / G. Matieva, G. M. Borboeva, G. İ. Seyitkazıeva // İzvestiya Natsionalnoy Akademii nauk Kırgızskoy Respubliki. 2022. No. S5. P. 68-73. EDN UJJQZE.

4. Geometriyalık tüşünüktördü kiyrüüdö konkrettüü-induktivdüü metod matematik-studenttin meykindik oy jügürtüüsün kalıptandıruu karajatı katarı / G. M. Borboeva, G. T. Toktobaeva, N. Alijan K, K. S. Urazova // İlim. Bilim. Tehnika. 2022. No. 3(75). P. 165-169. DOI 10.54834/16945220_2022_3_165. – EDN CLUWGM.

5. Borboyeva, G. M. Mesto naglyadnosti v razvitii prostranstvennogo myshleniya budushchikh uchiteley matematiki / G. M. Borboyeva // Nauchnoye obozreniye. Pedagogicheskiye nauki. 2020. № 2. S. 54-59. DOI 10.17513/srps.2288. EDN DELJKH.

6. Törögeldieva, K. M. Maalımattık tehnologiyalardı koldonuu menen jogorku klasstın okuuçularının meykindiktik oy jügürtüüsün kalıptandıruu jana önüktürüü / K. M. Törögeldieva, G. T. Jumanova // Nauka, novıe tehnologii i innovatsii Kırgızstana. 2022. No. 5. P. 182-186. DOI 10.26104/NNTIK.2019.45.557. EDN HYMITE.

7. Interaktivnyye metody formirovaniya prostranstvennogo myshleniya budushchikh inzhenerov / N. V. Bauer, N. I. Krasovskaya, I. V. Shusharina [i dr.] // Vyssheye obrazovaniye segodnya. 2020. № 8. S. 25-29. DOI 10.25586/RNU.HET.20.08.P.25. EDN KHBZRO.

8. Razrabotka programmy-trenazhera na baze neyronnykh setevykh tekhnologiy dlya razvitiya prostranstvennogo myshleniya studentov / A. I. Folomkin, S. A. Chupin, O. V. Trubetskaya, V. V. Sharok // Perspektivy nauki i obrazovaniya. 2022. № 3(57). S. 582-602. DOI 10.32744/pse.2022.3.34. EDN PRFDSZ.

9. Belavina, T. V. Rol' distsipliny «Inzhenernaya i komp'yuternaya grafika» v razvitii prostranstvennogo myshleniya u studentov inzhenernykh spetsial'nostey / T. V. Belavina, M. R. Salyakhova // Gumanitarnyye nauki v XXI veke: nauchnyy Internet-zhurnal. 2023. № 22. S. 30-41. EDN FAAVZU.

10. Yepifanova, S. V. Problemy razvitiya prostranstvennogo myshleniya u obuchayushchikhsya inzhenerno-tekhnicheskikh spetsial'nostey / S. V. Yepifanova, B. K. Kaliyev, Ye. B. Bolat // Vestnik KGPI. 2023. № 1(69). S. 19-25. EDN DZGSQI.

11. Kobesashvili, N. L. Formirovaniye prostranstvennogo myshleniya u studentov tekhnicheskogo vuza / N. L. Kobesashvili // Problemy sovremennogo pedagogicheskogo obrazovaniya. 2020. № 69-2. S. 90-93. EDN ISCIFF.

12. Danilova, Ye. A. Teoriya i praktika nachertatel'noy geometrii v tekhnicheskom vuze / Ye. A. Danilova, A. A. Chekalin // Zhurnal yestestvennonauchnykh issledovaniy. 2021. T. 6, № 2. S. 15-18. EDN SULBCJ.

13. Niklyayev, A. I. Informatsionno-kommunikatsionnyye tekhnologii kak sredstvo formirovaniya prostranstvennogo myshleniya shkol'nikov / A. I. Niklyayev, L. M. Bronnikova // Vestnik Shadrinskogo gosudarstvennogo pedagogicheskogo universiteta. 2021. № 4(52). S. 107-110. DOI 10.52772/25420291_2021_4_107. EDN SEATHH.

14. Tabinova O. A. Formirovaniye gotovnosti vypusknikov shkol k prodolzheniyu matematicheskogo obrazovaniya v vuze : spetsial'nost' 13.00.02 «Teoriya i metodika obucheniya i vospitaniya (po oblastyam i urovnyam obrazovaniya) » : Avtoreferat na soiskaniye kandidata pedagogicheskikh nauk / Tabinova O. A. ; Krasnoyarskiy gosudarstvennyy pedagogicheskiy universitet im. V.P. Astaf'yeva. — Krasnoyarsk, 2020. — 24 c.

15. Raçaʙova, S. Ç. Maxsusijathoi taşakkuli salohijati matematikii muallimoni ojandai fanni matematika / S. Ç. Raçaʙova // Pajomi Donişgohi millii Toçikiston. 2023. No. 3. P. 322-328. EDN LZJYTS.

16. Kanashevich, T. N. Usloviya effektivnosti izucheniya fiziko-matematicheskikh distsiplin pri formirovanii professional'noy kompetentnosti u studentov tekhnicheskogo universiteta / T. N. Kanashevich // Universitetskiy pedagogicheskiy zhurnal. 2021. № 1. S. 22-30. EDN NAAJNW.

17. Ispol'zovaniye professional'no oriyentirovannykh zadach matematicheskogo modelirovaniya pri obuchenii matematike v agrarnom vuze / Ye. V. Savel'yeva, D. V. Zdor, O. Ye. Fedoreyeva [i dr.] // Pedagogicheskiy zhurnal. 2023. T. 13, № 4-1. S. 431-443. DOI 10.34670/AR.2023.62.54.052. EDN GLTZJM.

18. Saltykova, Ye. V. Formirovaniye professional'noy kompetentnosti budushchikh inzhenerov s pomoshch'yu professional'no oriyentirovannykh zadach pri obuchenii matematike / Ye. V. Saltykova, A. V. Ovsyannikov // Vestnik pedagogicheskogo opyta. 2021. № 48. S. 87-91. EDN DEGNVT.

19. Nogovitsina, O. V. Metodicheskiye aspekty resheniya prakticheskikh zadach pri obuchenii matematike v tekhnicheskom VUZe / O. V. Nogovitsina, D. R. Khamzina, A. V. Sarapulova // Vestnik pedagogicheskikh nauk. 2024. № 5. S. 56-61. DOI 10.62257/2687-1661-2024-5-56-61. EDN RYGGZV.

20. Садиева, М. Э. Математикалык ой жyгyртyyнy калыптандырууга карата тапшырмаларды TY3YYHYH булактары / М. Э. Садиева, Ж. М. Койчуманова, С. К. Калдыбаев // Известия Кыргызского государственного технического университета им. И. Раззакова. 2022. No. 3(63). P. 284-289. DOI 10.56634/16948335_2022_3_284. EDN EPUPUI.

21. Зайдуллоев, Н. Истифодаи роҳу усули муосири таълим ва самаранокии онҳо дар ташаккули тафаккури математикии хонандагон / Н. Зайдуллоев // Паёми Пажӯҳишгоҳи рушди маориф. 2023. No. 1(41). P. 242-244. EDN EZDKEY.

22. Gobysh, A. V. Opyt vnedreniya tsifrovykh tekhnologiy v matematicheskuyu podgotovku inzhenerov / A. V. Gobysh // Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Pedagogika i psikhologiya. 2023. № 1(62). S. 176-185. DOI 10.26456/vtpsyped/2023.1.176. EDN KSIIWP.

23. Tat'yanenko S. A., Chizhikova Ye. S. Metody formirovaniya Hard Skills i Soft Skills v protsesse izucheniya matematiki v tekhnicheskom vuze v usloviyakh perekhoda na FGOS 3++ // Pis'ma v Emissiya.Offlayn. 2019. № 12. S. 2797.

24. Non' N. A., Pozdnyakova N. A., Fomina A. V. Model' formirovaniya informatsionno-matematicheskoy kompetentnosti studentov v sisteme bakalavriata [Elektronnyy resurs] // Nauchno-metodicheskiy elektronnyy zhurnal "Kontsept". 2023. № 9. S. 28-42. URL: https://doi.org/10.24412/2304-120X-2023-11080 [Data obrashcheniya 01.10.2024]

25. Pradana L. N., Sholikhah O. H., Maharani S. Virtual Mathematics Kits (VMK): Connecting Digital Media to Mathematical Literacy [Elektronnyy resurs] // International journal of emerging technologies in learning. 2020. Vol. 15. № 3. P. 234–241. URL: https://doi.org/10.3991/ijet.v15i03.11674 [Data obrashcheniya 01.10.2024]

26. Vale I., Barbosa A. Active learning strategies for an effective mathematics teaching and learning [Elektronnyy resurs] // European Journal of Science and Mathematics Education. 2023. 11(3). R. 573–588.

27. Lazzari E. Flipped learning and affect in mathematics: Results of an initial narrative analysis [Elektronnyy resurs] // European Journal of Science and Mathematics Education. 2023. №11(1). P. 77–88. URL: https://doi.org/10.30935/scimath/12435 [Data obrashcheniya 01.10.2024]

28. Gleyzer, Grigoriy Davydovich. Metody formirovaniya i razvitiya prostranstvennykh predstavleniy vzroslykh v protsesse obucheniya geometrii v shkole : dissertatsiya ... doktora pedagogicheskikh nauk : 13.00.02. - Moskva, 1984. - 333 c.

29. Razvitiye prostranstvennogo myshleniya shkol'nikov / I. S. Yakimanskaya. - Moskva : Pedagogika, 1980. - 240 s. : il.; 20 sm.; ISBN V per. (V per.).

30. Grishayeva, A. YU. K voprosu o razvitii prostranstvennogo myshleniya uchashchikhsya devyatykh klassov v protsesse obucheniya matematike / A. YU. Grishayeva // Ratio et Natura. 2023. № 2(8). EDN IYQTCM.

31. Torogel'diyeva, K. M. Integrirovannyy podkhod k razvitiyu i formirovaniyu prostranstvennogo myshleniya na urokakh geometrii / K. M. Torogel'diyeva, G. T. Zhumanova // Vestnik Oshskogo gosudarstvennogo universiteta. Pedagogika. Psikhologiya. 2024. № 1(4). S. 60-66. DOI 10.52754/16948742_1(4)_7-2024. EDN FLUFJT.

32. Argunova, N. V. Razvitiye prostranstvennogo myshleniya obuchayushchikhsya pri reshenii geometricheskikh zadach s elementami yakutskogo byta i zodchestva / N. V. Argunova, A. P. Argunova, A. M. Popova // Pedagogika. Voprosy teorii i praktiki. 2020. T. 5, № 1. S. 17-21. DOI 10.30853/pedagogy.2020.1.3. EDN DVJYGF.

33. Demina, A. N. Razvitiye prostranstvennogo myshleniya mladshikh shkol'nikov (na primere urokov matematiki) / A. N. Demina // Izvestiya instituta pedagogiki i psikhologii obrazovaniya. 2021. № 1. S. 91-96. EDN XGCBJC.

34. Kovalenko, N. V. Rol' vizualizatsii v razvitii prostranstvennogo myshleniya obuchayushchikhsya sredney shkoly / N. V. Kovalenko, M. V. Ivanova // Didaktika matematiki: problemy i issledovaniya. 2022. № 1(55). S. 82-89. DOI 10.24412/2079-9152-2022-55-82-89. EDN HHTJGX.

35. Golysheva, S. P. Razvitiye prostranstvennogo myshleniya studentov inzhenerno-tekhnicheskikh napravleniy posredstvom izucheniya geometricheskikh prilozheniy kratnykh integralov / S. P. Golysheva // Pedagogika. Voprosy teorii i praktiki. 2020. T. 5, № 4. S. 532-539. DOI 10.30853/ped200118. EDN AMVLPV.

36. Kaplunovich I. YA. Soderzhaniye myslitel'nykh operatsiy v strukture prostranstvennogo myshleniya // Voprosy psikhologii, 1987. № 6. s. 115 — 122.