Abstract
This article presents methodological approaches to practice-oriented training of future engineers in the field of solid state physics based on fundamental model concepts. The work examines significant physical models of solids, reflects the logic of their presentation in the process of training students, as well as the limits of their applicability.

Key words: engineering education, practice-oriented education; project-based research activities, professionally significant competencies, semiconductor physics.

----------------

Физическое моделирование свойств материалов, а также протекающих в них физических процессов – это творческий процесс требующий длительного обучения. Будущие инженеры должны обладать умениями физического моделирования при решении исследовательских задач. Формирование данных умений построения физических моделей у обучающихся требует от системы подготовки разработки методических подходов практико-ориентированного обучения важных для будущей профессиональной деятельности разделов физики [1, 2]. Одним из таких разделов выступает физика конденсированного состояния. В работе отражены значимые для описания функциональных свойств кристаллов модели физики конденсированного состояния, рассмотрены границы их применимости.

Рассмотрим ряд фундаментальных физических моделей используемых в физике твердого тела, физике полупроводников, играющих важную роль в процессе специализации обучающихся в предметной области твердотельной микро- и наноэлектроники. В физике твердого тела одной из основных задач выступает определение энергетического спектра носителей заряда в кристаллах, что представляется сложной квантово-механической задачей. Понимание особенностей энергетического спектра электронов в различных материалах является значимым для анализа функциональных свойств элементов микроэлектроники на их основе. В связи с этим в процессе подготовки обучающихся необходимо провести анализ фундаментальной квантово-механической модели твердого тела (модель Кронига-Пенни) [3], в которой рассматривается движение электрона в периодическом потенциальном поле, состоящем из бесконечной последовательности квантовых ям и барьеров шириной b и высотой U₀. В ходе рассмотрения данной модели решается стационарное уравнение Шредингера и обучающиеся приходят к уравнению:

(1)

где k – квантовое число (связано с квазиимпульсом электрона p=hk), определяющее трансляционные свойства волновой функции ψ; a- ширина квантовых ям, отделенных друг от друга барьерами; χ – коэффициент, связанный с энергией электрона ; P-параметр барьера, [4, 5]. Представить решение данного уравнения обучающимся можно в графическом виде, путем построения графика и установления области возможных значений функции . Анализ данного графика предлагается провести обучающимся (рис.1).

Рис.1. Графическое решение обобщенного уравнения (1)

В точках [a₁ c₁], [c₂ a₂], [a₃ c₃], [c₄ a₄] представленное уравнение имеет решение, график при этом похож на “разорванную” параболу и показывает связь энергии частицы (E) с её импульсом (p) или волновым числом (k). Проведя анализ данной модели Кронига-Пенни обучающиеся осваивают фундаментальную основу возникновения разрешенных и запрещенных энергетических зон в кристаллах. Решение данной модели может быть обобщено и на трехмерный случай. Здесь обучающиеся узнают, что внутри разрешенных зон энергия электрона E(k) – непрерывная функция, а сами зоны могут частично перекрываться.

Важными физическими моделями, на которые следует обратить глубокое внимание обучающихся при освоении функциональных свойств кристаллов (металлов, полупроводников) являются модели вырожденного и невырожденного электронного газа. Вырожденный электронный газ описывается квантовой функцией распределения Ферми-Дирака

(2)

в то время, как классический (невырожденный) электронный газ функцией распределения Максвелла-Больцмана

(3)

где µ-электрохимический потенциал. При сравнении обучающимися выражений (2) и (3) обнаруживается следующий вывод: при описании функциональных свойств материалов квантовая функция распределения в ряде случаев может быть заменена на классическую, если экспонента в (2) много больше единицы e^(E-μ)/kT >> 1. В случае фермионов (электронов) это условие выполняется для энергий существенно больших энергии Ферми (µ=E_ф). При описании таких частиц может быть выполнена замена функции Ферми-Дирака на функцию Максвелла-Больцмана. В качестве примера такой замены с обучающимися можно рассмотреть явление термоэлектронной эмиссии: из металла в ходе нагревания вылетают только те электроны, энергия которых на несколько электронвольт больше энергии Ферми. Еще одним критерием выбора модели электронного газа при описании свойств кристаллов является повышение температуры, при котором выполняется условие малости энергии Ферми E_ф << 2kT. Обучающимся можно предложить переписать данное условие в другом виде, используя выражение связи энергии Ферми в кристаллах и концентрации электронов в них:

(4)

где где m* - эффективная масса электрона; n-концентрация электронов.

Заменяя в этом выражении энергию Ферми на 2kT обучающиеся могут получить следующее неравенство

(5)

Полученное выражение представляет собой критерий перехода статистки Ферми-Дирака к статистике Максвелла-Больцмана (выбора модели электронного газа). Для того, чтобы весь электронный газ был невырожденным, то есть электроны были способны менять свои состояния при изменении температуры или включении электрического поля необходимо выполнение данного условия (5). Из представленного неравенства (5) обучающиеся делают вывод: переход к статистике Максвелла-Больцмана возможен при малых концентрациях частиц или при высоких температурах. В качестве примера рассмотрим изучение электронных свойств металлов в курсе физики твердого тела. Здесь обучающимся на практическом занятии можно предложить самим определить температуру перехода к статистике Максвелла-Больцмана. Для металлов в силу высоких концентраций электронов n~10²⁹м^-3 переход к статистике Максвелла-Больцмана возможен при температурах:

В этой связи в металлах при описании поведения электронного газа используется модель вырожденного электронного газа.

Рассмотрим другой пример, в котором с обучающимися можно проанализировать поведение электронного газа в зоне проводимости собственного полупроводника. В полупроводниках концентрация электронов меняется в очень широком диапазоне значений. Для собственного германия, например, концентрация электронов при комнатной температуре составляет n~10¹⁹ м^-3. С обучающимися можно провести расчет температуры снятия вырождения, которая здесь будет составлять:

В результате решения данной задачи обучающиеся узнают, что электронный газ в полупроводниках во всем диапазоне доступных температур описывается моделью невырожденного электронного газа, подчиняющегося статистике Максвелла-Больцмана. Даже при увеличении концентрации электронов в 10³ раз в ходе изучения примесных полупроводников (например, легированных донорной примесью) расчеты показывают небольшое увеличение температуры снятия вырождения

Рассмотрение электронного газа как невырожденного подчиняющегося статистике Максвелла-Больцмана в слабо легированных полупроводниках возможно при температурах больших нескольких Кельвин.

Акцентирование внимания обучающихся на применение физических моделей при решении образовательных и практических задач способствует приобретению у обучающихся важных когнитивных качеств личности:

• системности и последовательности при решении задач;
   
• планировании при организации деятельности;
   
• целенаправленности при решении стоящих перед обучающимися проблем.

Литература

1. Хорошавин С.А. Физико-техническое моделирование / С.А. Хорошавин. М.: Просвещение, 1983. 206 с.

2. Шишелова Т.И. Прикладные исследования в области физики. Роль физики в инженерном образовании / Т.И. Шишелова, Н.П. Коновалов, Т.О. Павлова // Фундаментальные исследования. 2015.  С. 3850–3854.

3. Kronig R. De L. Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices / R. De L. Kronig, W. G. Penney // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1931. Vol. 130. No. 814. pp. 499-513.

4. Кравченко А.Ф. Электронные процессы в твердотельных системах пониженной размерности / А.Ф. Кравченко, В.Н. Овсюк. Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. 448c.

5. Бордовский Г.А. Элементы физики твердого тела: учебное пособие / Г.А. Бордовский, Ю.А. Гороховатский, С.Д. Ханин. СПб.: 1997. 188c.

Рекомендовано к публикации:
А.В.Флегонтов, доктор физико-математических наук, член Редакционной Коллегии;
А.А.Ахаян, доктор педагогических наук, кандидат физико-математических наук, член Редакционной Коллегии

Literature

1. Khoroshavin S.A. Fiziko-tekhnicheskoye modelirovaniye / S.A. Khoroshavin. M.: Prosveshcheniye, 1983. 206 s.

2. Shishelova T.I. Prikladnyye issledovaniya v oblasti fiziki. Rol' fiziki v inzhenernom obrazovanii / T.I. Shishelova, N.P. Konovalov, T.O. Pavlova // Fundamental'nyye issledovaniya. 2015. S. 3850–3854.

3. Kronig R. De L. Quantum Mechanics of Electrons in Crystal Lattices / R. De L. Kronig, W. G. Penney // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1931. Vol. 130. No. 814. pp. 499-513.

4. Kravchenko A.F. Elektronnyye protsessy v tverdotel'nykh sistemakh ponizhennoy razmernosti / A.F. Kravchenko, V.N. Ovsyuk. Novosibirsk: Izd-vo Novosib. un-ta, 2000. 448c.

5. Bordovskiy G.A. Elementy fiziki tverdogo tela: uchebnoye posobiye / G.A. Bordovskiy, YU.A. Gorokhovatskiy, S.D. Khanin. SPb.: 1997. 188c.