Abstract
This article examines the potential of using information technology tools in the study of the algebraic branch of mathematics known as Number Theory. The pedagogical capabilities of the computer-based learning system «Number Theory Problems», developed by the authors, are described. The principles underlying the creation of electronic educational resources of this type are highlighted.

Key words: number theory, digital educational resource, сomputer-based learning system, interactivity, problem-solving algorithms.

----------------

Раздел «Теория чисел» является важной составляющей образовательных программ для студентов, обучающихся по направлениям, связанным с математикой, а также – программ для школьников старших классов, углубленно изучающих математику. Исследования в области информатизации образования, личный опыт преподавания авторов статьи показали эффективность применения средств информационных технологий при обучении математике. В то же время, специализированных обучающих компьютерных систем по конкретным разделам математики все еще недостаточно. Существующие профессиональные среды предоставляют инструментарий для решения математических задач, однако зачастую они разрабатываются без учета методической составляющей, что затрудняет работу с ними в реальном процессе обучения. Сказанное выше естественным образом приводит к актуальности разработки компьютерных программ не только для получения ответов математических задач, но и для обучения решению этих задач.

На факультете математики РГПУ им. А. И. Герцена много лет ведется работа по созданию электронных образовательных ресурсов (ЭОР) разных типов. В рамках этой деятельности было принято решение о создании ЭОР, способствующего обучению решению некоторых алгебраических задач. Таким образом, целью стало разработать удобный в использовании электронный инструментарий, который обеспечил бы методическую поддержку практической части курса «Теория чисел».

Мы рассмотрели различные типологии ЭОР [1] и приняли решение о разработке компьютерной обучающей системы (под названием «Задачи теории чисел»), обладающей одновременно следующими чертами: электронный задачник, линейно-разветвленная система работы с пользователями, элементы открытой инструментальной среды. На данном этапе основное математическое содержание системы следующее:

• сравнения по модулю первой степени;
  
  
• разложение рационального числа в конечную цепную дробь;
  
  
• линейные диофантовы уравнения с двумя переменными;
  
  
• символ Лежандра;
  
  
• сравнения второй степени по простому модулю.

Среди основных возможностей компьютерной обучающей системы «Задачи теории чисел» имеет смысл выделить следующие:

• генерация задач по приведенным выше темам;
  
  
• построчное решение сгенерированных (или заданных с помощью параметров, вводимых пользователем) задач;
  
  
• помощь в решении задач (с промежуточным контролем хода решения).

Рассмотрим подробно указанные возможности системы. Начнем с генерации задач по выбранному разделу содержания. Режимом генерации задач могут воспользоваться как обучающиеся (для приобретения навыка решения задач на их большом количестве), так и преподаватели (для создания вариантов для практических занятий, а также для проведения самостоятельных и контрольных работ). Пользователь выбирает темы и по каждой из них указывает количество задач, которые ему нужно сгенерировать. После этого список задач появляется на экране. Пусть, например, пользователю требуется сгенерировать пять сравнений по модулю первой степени и по две задачи из других содержательных разделов системы, перечисленных выше. Указав необходимые параметры, пользователь получает список задач в том виде, как это указано на рисунке 1. Задачи можно выгрузить в текстовый файл для дальнейшего использования, например, на очных занятиях со студентами.

Рис. 1. Сгенерированные задачи

Построчное решение осуществляется инструментарием системы для демонстрации пользователю хода решения задачи. Пользователь выбирает содержательный раздел, указывает математические коэффициенты задачи, после чего получает подробное решение задачи, позволяющее сделать выводы об общих принципах решения задач рассматриваемого типа. Предположим, пользователь выбирает раздел «Линейные диофантовы уравнения» и хочет получить решение уравнения 5x – 6y = 7 в целых числах. Он вводит соответствующие коэффициенты и получает решение (см. рисунок 2). Если текст решения не помещается в рамках одного экрана, возникает полоса прокрутки.

Рис. 2. Построчное решение задачи

Наибольшей интерактивностью обладает режим помощи в решении задач. Пользователю предлагается случайным образом сгенерированная задача (по выбранной математической теме). Далее система задает наводящие вопросы, отвечая на которые пользователь получает представление о возможном ходе решения задач подобного типа. Поясним на конкретном примере из темы «Сравнения первой степени»: решение задачи с помощью цепных дробей. Предположим, сгенерировано сравнение первой степени:

Пользователю последовательно будет предложено ввести:

• количество классов решений;
  
  
• знаменатель предпоследней подходящей дроби;
  
  
• длину цепной дроби;
  
  
• наименьший неотрицательный ответ.

Правильно введенные числа подсветятся зеленым, неправильно введенные – красным (см. рисунок 3).

Рис. 3. Промежуточные шаги решения задачи пользователем

Здесь же предусмотрен способ контроля за тем, понимает ли пользователь, как может быть устроена последовательность этапов решения рассматриваемой задачи. Предлагается список этапов, которые нужно расставить в правильном порядке. Соответствующий блок представлен на рисунке 4.

Рис. 4. Расстановка этапов решения задачи

Структуру ЭОР «Задачи теории чисел» можно описать следующим образом. Взаимодействие пользователя и системы традиционно осуществляется через блок интерфейса, который позволяет зайти в тот или иной тематический раздел, выбрать функцию системы, интересующую в данный момент, ввести числовые параметры для задачи, получить решение задачи, вывести списки задач и т.п. При воздействиях пользователя начинают свою работу блоки ввода-вывода и обработки данных. В рамках последнего блока на текущий день программным образом реализованы следующие алгоритмы:

• разложение рационального числа в конечную цепную дробь;
  
  
• решение сравнений по модулю первой степени с помощью цепных дробей и методом варьирования коэффициентов;
  
  
• решение квадратичных сравнений по простому модулю;
  
  
• вычисление символа Лежандра;
  
  
• решение линейных диофантовых уравнений с двумя переменными с помощью цепных дробей и с помощью теории решений сравнений первой степени.

Система была разработана в среде Visual Studio на языке программирования C# для операционной системы Windows. Выбор языка и среды обусловлен, в частности, наличием поддержки библиотеки CSharpMath, с помощью которой реализован рендеринг изображений с задачами и их решениями из набора LaTeX команд. Кроме того, Visual Studio – комплексная интегрированная среда разработки, обладающая всеми необходимыми инструментами для работы с текстами программ и создания пользовательского интерфейса, а также для отладки и сборки кода [2].

В процессе разработки ЭОР «Задачи теории чисел» были выявлены принципы создания приложений аналогичного типа.

1. Это, прежде всего, обучающие системы, призванные организовать взаимосвязь целей, задач, содержания, технологий, способов контроля и оценки результатов обучения [3].
   
   
2. Системы такого типа непременно должны быть интерактивными, то есть предоставлять пользователю возможности для организации учебного компьютерного диалога.
   
   
3. Системы должны быть практико-ориентированными: большую часть времени пользователи должны работать с задачным материалом, причем в активной позиции.
   
   
4. Пользователь должен получить инструментарий для генерации задач, вывода подробных решений задач, самостоятельного конструирования решений задач.
   
   
5. Системы должны иметь интуитивно понятный интерфейс, быть полностью русифицированными.

Компьютерные системы описываемого типа органично включаются в учебный процесс – как аудиторный, так и дистанционный. Они дают обучающимся возможность качественно поработать с математическими задачами: не только отследить ход решения и узнать ответ, но и получить понимание того, как устроена задача, какие алгоритмы применяются для ее решения, и как следствие – приобрести твердые навыки решения рассматриваемых задач. Студенты и преподаватели факультета математики РГПУ им. А. И. Герцена получили опыт работы с компьютерной обучающей системой в рамках дисциплины «Теория чисел» и отметили эффективность применения ее инструментария. В будущем возможности системы предполагается расширить за счет добавления новых математических разделов: бесконечные цепные дроби, нелинейные диофантовы уравнения, решение систем сравнений по модулю. С методической точки зрения предполагается добавить анимационные материалы, поддерживающие ход решения некоторых алгебраических задач.

Авторы заявляют об отсутствии потенциального или явного конфликта интересов.
Вклад авторов:
Шумара Е. В. - обоснование актуальности и описание методической составляющей разработки, формулировка общих принципов создания компьютерных обучающих систем рассматриваемого типа, оформление.
Травкин М. С. - описание содержания и возможностей разработанной компьютерной обучающей системы, перевод на английский язык.
Авторы выражают благодарность Яшиной Елене Юрьевне, кандидату физико-математических наук, доценту кафедры алгебры Российского государственного педагогического университета им. А. И. Герцена.

Литература

1. Шумара Е. В. Типологии электронных образовательных ресурсов / Е. В. Шумара // Современные проблемы математики и математического образования : Сборник научных трудов международной научной конференции, Санкт-Петербург, 16–18 апреля 2024 года. Санкт-Петербург: Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, 2024. С. 174-178.

2. Microsoft Learn: официальный сайт / Microsoft Corporation. URL: https://learn.microsoft.com/ru-ru/visualstudio/get-started/visual-studio-ide?view=vs-2022 [Дата обращения 02.03.2026]

3. Хуторской А. В. Дидактика. Учебник для вузов. СПб.: Питер, 2017. 850 с.

Рекомендовано к публикации:
А.А.Ахаян, доктор педагогических наук, член Редакционной Коллегии

Literature

1. Shumara E. V. Tipologii elektronnyh obrazovatelnyh resursov / E. V. Shumara // Sovremennye problemy matematiki i matematicheskogo obrazovaniya : Sbornik nauchnyh trudov mezhdunarodnoy nauchnoy konferencii, Sankt-Peterburg, 16–18 aprelya 2024 goda. Sankt-Peterburg: Rossijskij gosudarstvennyj pedagogicheskij universitet im. A. I. Gercena, 2024. S. 174-178.

2. Microsoft Learn: oficialnyj sajt / Microsoft Corporation. URL: https://learn.microsoft.com/ru-ru/visualstudio/get-started/visual-studio-ide?view=vs-2022 [Data obrashcheniya 02.03.2026]

3. Hutorskoj A. V. Didactica. Uchebnik dlja vuzov. SPb.: Piter, 2017. 850 s.

Шумара Елена Викторовна
Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург
РИНЦ AuthorID: 712115
SPIN-код: 5908-6209
Google Sdolar ID: yY45CSMAAAAJ

Травкин Михаил Сергеевич
Российский государственный педагогический университет им. А. И. Герцена, Санкт-Петербург